Valutare la consistenza di cibo e risorse

Unità di apprendimento di Matematica per la classe terza
di Adriano Demattè

Compito unitario. Raccogliere informazioni ed esprimere opinioni riguardanti le tematiche di Expo 2015.

Competenza. Acquisire ed interpretare criticamente l’informazione ricevuta nei diversi ambiti ed attraverso diversi strumenti comunicativi, valutandone l’attendibilità e l’utilità, distinguendo fatti e opinioni.

Obiettivi di apprendimento.

  • Usare il piano cartesiano per rappresentare relazioni e funzioni empiriche o ricavate da tabelle, e per conoscere in particolare le funzioni del tipo y = ax, y = a/x, y = ax2, y = 2n e i loro grafici e collegare le prime due al concetto di proporzionalità.
  • In situazioni significative, confrontare dati al fine di prendere decisioni, utilizzando le distribuzioni delle frequenze e delle frequenze relative.

Obiettivi formativi. L’alunno:

  • ritrova in un antico manuale di matematica riferimenti a cibi e risorse alimentari;
  • analizza rappresentazioni grafiche soffermandosi sulla variazione di determinate grandezze e descrivendole con l’utilizzo di termini specifici;
  • produce rappresentazioni grafiche che descrivano variazioni nel tempo e conducano a ipotesi sulla situazione futura.

Attività laboratoriali. La presente Unità di Apprendimento riprende il tema della Matematica nella storia1 e può costituire un interessante spunto di lavoro nell’ambito degli argomenti inerenti l’Expo 2015.
Dal Liber abaci di Leonardo Pisano (Fibonacci) in poi, in Italia sono apparsi numerosi manuali di matematica destinati a commercianti e artigiani. È interessante rilevare come ai cibi, ai prodotti agricoli, d’allevamento e della caccia facciano riferimento molti problemi. In questa Unità di Apprendimento facciamo ancora riferimento alle due opere, una del 1300, una del 1600, dalle quali abbiamo tratto il testo di due problemi nell’UA Simbolizzare: vari modi, vari scopi.

Fase 1. Una gara sui documenti storici. Nel Trattato d’aritmetica di Paolo Dell’Abbaco si fa riferimento a uova, grano, orzo, pane, mele, vino, uccelli. Nella Novissima prattica d’aritmetica mercantile di Griminelli (presente in versione integrale in http://books.google.it) si menzionano mele, melangoli (arance amare), grano, fave, orzo, fagioli, zucchero, olio, pepe, garofano, cannella, uova, galline, pecore, agnelli, castrati, vacche, vitelli, cavalli, uccelli (starne, quaglie), storione, vino (Malvasia). Utilizzando il testo disponibile in rete, gli alunni stessi potranno compilare questo elenco. Sarà loro proposta una sorta di caccia al tesoro, da svolgere eventualmente in coppie; si potrà prospettarla come una gara, dentro un tempo limite. Questo con lo scopo di rendere chiara la richiesta di una lettura selettiva, all’interno di un documento per gli alunni inevitabilmente in gran parte misterioso. Il valore di un’attività di questo tipo riguarderà anche una strategia per affrontare non solo un documento storico ma le difficoltà di interpretazione di un testo in generale, vale a dire quella di individuare specifici elementi di cui sia noto il significato, per ricostruire progressivamente il senso complessivo.

Fase 2. Riflettere sulle risorse. Il dibattito sul nutrimento e il cibo ed i problemi legati alla produzione e alla valorizzazione dell’ambiente sono oggetto delle iniziative di Expo 2015. Gli spunti che ci vengono dalla quotidianità “raccontata” nel testo dei problemi tratti dai due documenti storici di Paolo Dell’Abbaco e di Domenico Griminelli aiuteranno gli alunni a dare concretezza, attraverso la realtà storica, a quei temi e a fornire elementi di riflessione interdisciplinare. La situazione richiamata nel testo del problema di Paolo Dell’Abbaco esaminato nell’UA Simbolizzare: vari modi, vari scopi (“Uno spexe 48 d. in 48 ucciellj di 3 ragionj…”) servirà per ricordare agli alunni il fatto che un tempo l’uomo viveva di caccia e di raccolta e che, quindi, con l’ambiente aveva un rapporto diverso. Oggi le convenzioni internazionali citano numerose specie di uccelli protette o il cui sfruttamento non deve comunque comprometterne la sopravvivenza. L’uomo è anche allevatore (si veda la situazione descritta nel problema di Griminelli contenuto nella stessa UA precedentemente citata: “Havendo uno comprato un’armento di pecore, & un’altro di vacche, & uno di cavalle…”), ma pure questa attività umana ha un peso sull’ambiente in termini di sfruttamento del suolo e di inquinamento.

Thomas Robert Malthus (1766-1834) ha affrontato il tema dello sfruttamento delle risorse e dell’aumento della popolazione. Nel suo Saggio sul principio della popolazione e i suoi effetti sullo sviluppo futuro della società2 osserva che “la popolazione, quando non è arrestata da alcun ostacolo, si raddoppia ad ogni periodo di 25 anni”. Propone poi di immaginare che, in Gran Bretagna, “la produzione dell’isola si accresca, ad ogni periodo di 25 anni, di una quantità eguale a quella del prodotto attuale: il più esagerato speculatore non potrebbe immaginare di più. In pochi secoli, ogni palmo di terreno in questo paese sarebbe divenuto un giardino”. Propone poi di allargare il ragionamento a tutta la Terra.

I ragazzi saranno chiamati ad analizzare le conseguenze delle osservazioni di Malthus: se oggi la popolazione riesce a sfamarsi grazie a tutta la terra coltivata, fra 25 anni sia la popolazione che la terra coltivata avranno valore doppio, ma fra 50 anni la terra coltivata arriverà a un valore triplo di quello iniziale mentre la popolazione avrà un valore quadruplo: come farà a sfamarsi? Proseguendo negli anni, il rapporto diventerà ancora più sfavorevole…
Agli alunni verrà assegnato il compito di realizzare i grafici che mostrino i due tipi di accrescimento (lineare ed esponenziale) documentando, così, le precedenti considerazioni.
Ancora riguardo al tema delle risorse, i ragazzi saranno chiamati ad esaminare e discutere il modello della proporzionalità inversa. Se si considera una quantità fissa di risorse, al variare del numero di fruitori varierà in maniera inversa la quota a disposizione di ciascuno. Questo modello sottintende una distribuzione in parti uguali ma, a causa dei rapporti di forza fra i soggetti, ciò potrebbe non verificarsi.

Fase 3. Elaborare dati raccolti su internet. Un interessante software fruibile on-line o scaricabile gratuitamente dalla rete è Gapminder (www.gapminder.org)3. Esso offre una vastissima raccolta di dati che riguardano le varie Nazioni della Terra. Si possono reperire tabelle di valori, filmati che riguardano anche esperienze d’insegnamento, ma soprattutto rappresentazioni grafiche animate che visualizzano l’andamento nel corso degli anni, risalendo, in qualche caso, fino a due secoli fa. La proposta è ricchissima ed è possibile scegliere fra numerose categorie di dati interessanti per i nostri alunni come, ad esempio: popolazione, prodotto interno, sviluppo, agricoltura, ambiente. Ne potranno scaturire modalità di lavoro orientate al coinvolgimento degli alunni con difficoltà. (Figura 1)
Lavorando anche con l’insegnante di Storia e Geografia, i ragazzi potranno analizzare le cause dei fenomeni, formulare ipotesi riguardanti il futuro, produrre ulteriori rappresentazioni grafiche. Sarà utile l’apporto dell’insegnante di Inglese il quale fornirà un vocabolario minimo per la comprensione delle sezioni del sito di interesse specifico. Dal punto di vista matematico, gli alunni potranno soffermarsi su un particolare tipo di accrescimento, quello logaritmico: nelle rappresentazione grafiche presentate nel software, infatti, c’è la possibilità di scegliere per gli assi coordinati fra la scala lineare (si veda, ad esempio, l’asse delle ordinate, in Figura 1) e, appunto, quella logaritmica (come per l’asse delle ascisse, relativamente allo stesso grafico).

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Figura 1.

Al termine del percorso, gli alunni dovranno avere realizzato una raccolta di materiali scritti riguardanti quanto discusso a classe intera, corredati dagli opportuni link di una ricerca personale in rete.

Verifica, valutazione, monitoraggio. Fra le modalità di verifica andrà considerato prioritario l’orale: gli alunni dovranno stabilire collegamenti interdisciplinari e ciò sarà per loro un compito irto di insidie. Attraverso il dialogo con l’insegnante potranno godere di eventuali facilitazioni consistenti, ad esempio, in uno schema che traduca un discorso unitario sul quale i ragazzi saranno chiamati ad intervenire. Gli spunti ricavati dai documenti storici potranno essere utilizzati per richiedere agli alunni di abbozzare un confronto con la realtà attuale. Il dialogo potrà pure prendere le mosse da un grafico mostrato al computer.

Le prove scritte potranno essere considerate propedeutiche all’esame di stato, sia per quanto riguarda la matematica che per quanto riguarda l’italiano. Potranno comprendere richieste come quelle sotto riportate.

A carattere generale:

  1. Descrivi il ragionamento di Malthus riguardante l’aumento della popolazione e la disponibilità di risorse. Scrivi un tuo commento che tenga conto di quanto discusso in classe.

In forma più specifica:

  1. Descrivi la legge dell’aumento costante delle risorse (generazione dopo generazione) descritta da Malthus e realizza il grafico corrispondente.
  2. Ripeti la precedente consegna con riferimento alla legge del raddoppio.

Riguardo alla variazione della percentuale rappresentata dall’agricoltura rispetto al prodotto interno (GDP):

  1. Esamina il grafico di Figura 1 e soffermati in particolare sul caso dell’Italia: cosa indica il tracciato costantemente decrescente?
  2. Soffermati poi sul caso dell’Etiopia: perché il tracciato si trova più in alto e a sinistra di quello dell’Italia? Perché, secondo te, esso non ha un andamento costante? Rispondi pensando alla realtà sociale ed economica dei due Paesi degli ultimi decenni e ai possibili sviluppi futuri (*).
(*) Laddove servano conoscenze specifiche, come ad esempio quelle riguardanti la storia dell’Etiopia, la consegna potrà comportare un lavoro di ricerca in rete.

Conseguiranno il livello di accettabilità gli alunni che sapranno riportare quanto direttamente discusso in classe: il cambiamento nella storia dell’importanza di caccia, pesca e raccolta; la costruzione dei grafici e le due leggi di accrescimento nel ragionamento di Malthus; il modello della proporzionalità inversa relativamente ad un esempio sulla disponibilità delle risorse; i concetti di crescenza e decrescenza rispetto alle grandezze esaminate nei grafici tratti da Gapminder. Raggiungeranno l’eccellenza coloro che esprimeranno ulteriori riflessioni e sapranno aggiungere elementi di conoscenza ricavati dal lavoro personale di ricerca, realizzando collegamenti motivati fra le varie parti del discorso.

Adriano Demattè


  1. Altre UA sullo stesso tema:
    A. Demattè http://www.didatticare.it/collocare-il-teorema-di-pitagora-nella-storia-e-nellattualita/, http://www.didatticare.it/misurare-come-nel-cinquecento/http://www.didatticare.it/operare-come-gli-antichi/, http://www.didatticare.it/simbolizzare-vari-modi-vari-scopi/
    D. Cipressi http://www.didatticare.it/sperimentare-le-regole-dellabaco-ragionare-insieme-sullaritmetica-del-medioevo 

  2. T.R. Malthus: An Essay on the Principle of Population’ – Malthus, Thomas Robert, 1992, Cambridge University Press. La versione in inglese è disponibile all’indirizzo http://www.gutenberg.org/files/4239/4239-h/4239-h.htm 

  3. Sul sito è disponibile un utile tutorial che guida all’uso del programma.  Accedere alla pagina tutorial da questo link quindi cliccare sull’etichetta “How to use” 

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