Sperimentare le regole dell’abaco. Ragionare insieme sull’aritmetica del Medioevo

Unità di apprendimento di Matematica per la classe seconda
di Diana Cipressi

Compito unitario. Realizzare una rappresentazione teatrale sull’aritmetica del medioevo trasformando i testi storici in disegni, schemi e narrazioni.

Obiettivi formativi. L’alunno:

  • discute e comunica con gli altri, argomenta in modo corretto;
  • collabora con gli altri, negozia idee e azioni;
  • sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica;
  • comprende lo sviluppo e le trasformazioni della matematica;
  • opera con i metodi della matematica medioevale e stabilisce confronti con i modelli noti.

Attività laboratoriali. Il contesto di apprendimento. Il progetto è stato realizzato in una seconda media di circa 20 alunni: tra loro tre ragazzi diversamente abili, un paio esperti nelle tecnologie e un gruppetto che predilige il pensiero creativo. Il profitto in generale è modesto e i comportamenti sono conflittuali, con manifestazioni di scarsa tolleranza reciproca e verso le figure educatrici. L’identità di questa classe ha suggerito di scegliere, come oggetto di studio, la matematica nel Medioevo, ponendo in corrispondenza due periodi di transizione: la preadolescenza, da una situazione di controllo parentale a quella di piena autonomia e lo sviluppo del pensiero matematico, dal Medioevo al Rinascimento.Cipressi_UA2_immagine1

Il lavoro è stato segnalato tra i meritevoli nel Concorso Nazionale “Bruno Rizzi” – La Matematica nel Medioevo a.s. 2010-11 ed è stato pubblicato su http://www.euclide-scuola.org, il “Giornale di matematica per i giovani” N. 090.

Fase 1. La definizione progettuale. Il docente di matematica seleziona documenti dell’epoca scegliendo un filo conduttore per i contenuti e le abilità da apprendere, ad esempio il simbolismo e le tecniche dell’aritmetica: la numerazione decimale; le operazioni aritmetiche; le frazioni; iproblemi di aritmetica secondo le concezioni del tempo; il Liber abaci di Leonardo Fibonacci (vedi bibliografia e sitografia).
Il docente di lettere può introdurre gli aspetti sociali, culturali ed economici del Medioevo(i ceti sociali ammessi all’istruzione, la scuola, la famiglia, i giochi dei bambini, la cucina…). Il docente di arte può organizzare cartelloni rappresentativi sulla vita medioevale.
L’insegnante di matematica predispone i gruppi di lavoro assegnando a ciascuno un ambito di studio. Ad esempio:

Gruppo  A livello minimonumerazione decimale, addizione, Fibonacci     
Gruppo  B     livello  intermedio       moltiplicazione a crocetta
Gruppo  Clivello intermediometodo della falsa posizione
Gruppo  D …..  …..
Gruppo  Elivello tecnologicopresentazione multimediale


Fase 2.
Lo sviluppo operativo.

  1. La classe legge alcuni testi che descrivono le scuole d’abaco del Medioevo.
  2. I gruppi di lavoro prendono visione dei documenti storici, compilano schede di studio, risolvono problemi, predispongono rappresentazioni e disegni. Il docente visiona la partecipazione alle azioni e lo svolgimento dei compiti.
  3. Ogni gruppo espone gli elaborati alla classe per individuare eventuali punti critici.
  4. Ogni gruppo perfeziona il proprio compito e lo consegna al docente.

Segue una riflessione sulla scuola del Medioevo, in cui il maestro d’abaco dettava le regole matematiche, gli studenti le imparavano a memoria e risolvevano problemi per imitazione. Ogni gruppo comincia quindi a svolgere il proprio compito.


 
La numerazione decimale.

Le nove figure degli Indiani sono queste:

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Con queste figure, e con questo segno 0, che gli Arabi chiamano zefiro, si scrive qualunque numero, come sarà mostrato qui di seguito.
Infatti il numero è una raccolta o un aggregato di unità, che per i suoi gradi cresce all’infinito. Tra i quali il primo è formato dalle unità, che sono da uno fino a dieci. Il secondo sia dalla decine che sono da dieci fino a cento. […] Nella scrittura dei numeri il primo grado comincia da destra. Il secondo, invero, segue il primo verso sinistra. […] Se la figura del sette fosse nel primo grado e quella del tre nel secondo, entrambe insieme danno 37. (Leonardo Fibonacci, Liber abaci, cap. I)

Il gruppo A legge il documento,  lo riscrive nel linguaggio odierno e riflette sulle domande: nel Medioevo, le cifre del sistema di numerazione erano 10? Quanti erano i segni del sistema di numerazione romano?
Il gruppo prosegue con una ricerca sulla vita di Leonardo Fibonacci.

 L’addizione.

Quando alcuno vorrà addizionare quanti vuole numeri, li collochi in una tabella, cioè il primo grado sotto il primo dello stesso che è posto precedentemente nella somma, e il secondo sotto il secondo e lo stesso per quelli che seguono. Poi si comincia a raccogliere alle mani i numeri delle figure che sono nei primi gradi di tutti i numeri che furono posti nell’addizione, risalendo dal numero inferiore al superiore, poi si scrivono le unità sopra il primo grado dei numeri e le decine si tengono alle mani, poi si addizionano i numeri che stanno nel secondo grado […] (Leonardo Fibonacci, Liber abaci, cap. I)

Il gruppo A, dopo aver letto il brano, verifica il calcolo della seguente addizione, descrive la procedura utilizzata e la confronta con quella odierna.

1 LIRA = 20 SOLDI
1 SOLDO = 12 DENARICipressi_UA2_immagine2

 La moltiplicazione. Nel Liber abaci Fibonacci espone il metodo detto per crocetta, da cuiil segno × oggi usato. Il gruppo B legge la descrizione del metodo della moltiplicazione a crocetta, guidato nella comprensione attraverso frasi a completamento.Cipressi_UA2_immagine3Il gruppo confronta la procedura del metodo a crocetta con quello noto, eseguendo altre operazioni. Si chiede anche di trovare una giustificazione del metodo medioevale, usando la scrittura polinomiale dei numeri.

Cipressi_UA2_immagine4a

 Il metodo della falsa posizione.

Est arbor cuius 1/4  1/3 latet sub terra; et sunt palmi 21; queritur quanta sit arboris illius longitudo. (Leonardo Fibonacci, Liber abaci, cap. 12.)
C’è un albero, di cui 1/3 e 1/4 stanno sottoterra e sono 21 palmi. Si chiede quale sia la lunghezza dell’albero.

Il gruppo C risolve il problema con il metodo grafico e riflette sulla procedura:

In quante parti devi suddividere il segmento che rappresenta l’albero? …………
E’ un problema diretto o inverso? …………
Qual è la lunghezza dell’albero? …………
Qual è la proporzione che traduce il problema? …………

 Poi lo risolve con il metodo della falsa posizione:

Supponi (posizione falsa) la lunghezza dell’albero uguale a 12. Perché? …………
Prendi (la somma di) 1/3 e 1/4 del 12, si ottiene ………… palmi.
Questa sarebbe la lunghezza della parte interrata, se la pianta fosse alta 12 palmi.
Ma la parte sottoterra misura in realtà ………… palmi e non 7.
Poiché ………… è triplo di 7, l’altezza dell’albero è tripla di …………
Quindi l’altezza dell’albero è ………… palmi. Inserisci il numero mancante.Cipressi_UA2_immagine5

Infine il gruppo riflette su alcuni problemi analoghi:

“Quale sia il valore del mucchio se il mucchio e il settimo del mucchio sono uguali a 19.” Papiro di Ahmes, problema 24. 


Fase 3.
La trasformazione generativa.
La narrazione. Dopo questi approfondimenti, gli alunni elaborano una narrazione della matematica del Trecento, vista attraverso gli occhi di un loro coetaneo dell’epoca, figlio di commerciante, che dialoga con il suo maestro d’abaco. Ne scaturisce così un confronto tra i metodi in uso nel Medioevo nella matematica del commercio e quelli che si insegnano nella scuola del nostro tempo.Cipressi_UA2_immagine7

 

  1. La classe propone il percorso narrativo: delinea la trama del racconto, decide i nomi dei protagonisti, ipotizza l’incipit del racconto, annota le idee alla Lim , …
  2. Ogni gruppo rielabora l’ambito studiato con una narrazione. Il gruppo E assembla e revisiona i prodotti con un programma di videoscrittura.
  3. La classe condivide il prodotto ottenuto.Cipressi_UA2_immagine6

La presentazione multimediale. Dopo aver stabilito insieme le modalità di costruzione della presentazione multimediale (realizzata con PowerPoint o con altro software simile), la classe decide la scaletta delle diapositive, selezionando i temi da trattare. Il “gruppo tecnologico” crea il file, inserendo immagini e animazioni. Il docente aiuta il gruppo a revisionare il prodotto.

Fase 4. La rappresentazione teatrale. La linea guida della responsabilità e collaborazione prende forma esplicita: l’alunno assume un atteggiamento positivo verso sé e gli altri, mette in pratica le decisioni collettive, aiuta i compagni, regola le capacità espressive, controlla il proprio corpo.
L’insegnante prepara il lavoro di trasposizione teatrale del testo narrativo e ripartisce le parti da leggere in modo da coinvolgere tutti gli alunni. Prepara una scaletta che tenga conto dell’alternanza delle voci, delle frasi da leggere, delle immagini da proiettare e delle azioni sceniche.Cipressi_UA2_immagine8

Cipressi_UA2_immagine9La classe discute su come realizzare le scene, individua i ragazzi che daranno voce ad ogni personaggio, svolge le prove di recitazione, verifica le azioni da compiere, apporta le eventuali modifiche.
Nell’incontro scuola-famiglia, la rappresentazione teatrale sarà accompagnata dalla presentazione multimediale. Il confronto con i genitori, i nonni e i professori sarà un momento importante per cogliere il valore dell’esperienza: la creatività dei partecipanti crea un clima un’emozione diffusa.

Verifica, valutazione, monitoraggio. L’apprendimento, in questa proposta formativa, è il risultato di una attiva costruzione condivisa in  un contesto collaborativo, multimediale e riflessivo e quindi richiede una valutazione “autentica”.
Per misurare le abilità complesse messe in atto, possiamo utilizzare come strumento di verifica il portfolio, una raccolta di lavori accumulati nel tempo e selezionati dall’alunno.
Si può scegliere di inserirvi, alla fine di ogni attività, lavori prodotti a casa, disegni, riflessioni personali, relazioni di gruppo, schede di autovalutazione, griglie di osservazione dei comportamenti raccolte dall’insegnante e dai compagni.
L’alunnocomprende le ragioni degli altri,  partecipa con interesse alle attività, lavora in modo sufficientemente ordinato, giustifica alcune delle conclusioni, utilizza solo le procedure note e semplici, se guidato sa motivare le sue scelte (accettabilità); collabora efficacemente con gli altri, fornisce un contributo fattivo nella realizzazione dei prodotti, giustifica con rigore tutte le conclusioni, confronta le diverse procedure, sceglie con accuratezza le strategie, le modalità e i materiali più idonei (eccellenza).

                                                                                               Diana Cipressi              

 

Bibliografia e sitografia

– Matematica e commercio nel Liber Abaci (E. Giusti) http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/fibonacci/catalogo/giusti.php#1

– Fare matematica con i documenti storici (A. Demattè)
http://try.iprase.tn.it/old/in05net/upload/doc/libri/U1011t3n673_Mat_storici_insegnanti.pdf

– XXIX Convegno UMI-CIIM. Il Liber abaci. (R. Petti)
http://php.math.unifi.it/convegnostoria/liberabaci.pdf

– Geronimi N. Giochi matematici del medioevo. I “conigli di Fibonacci” e altri rompicapi liberamente tratti dal Liber Abaci. Milano. Bruno Mondadori. 2006.

– Demattè A. Scuola e Didattica. Aritmetica in classe con Larte de labbacho. Anno XLIX, n.6. 2003.

 

 

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