Simbolizzare: vari modi, vari scopi

Unità di apprendimento di Matematica per la classe terza
di Adriano Demattè

Compito unitario. Utilizzare il simbolismo algebrico, scrivere formule nel foglio di calcolo, ricavare dati, rappresentare situazioni.

Competenza. Rappresentare eventi, fenomeni, principi, concetti,  procedure,  utilizzando linguaggi diversi (verbale, matematico, scientifico, simbolico, ecc.), mediante diversi supporti (cartacei, informatici e multimediali).

Obiettivi di apprendimento.

  • Interpretare, costruire e trasformare formule che contengono lettere per esprimere in forma generale relazioni e proprietà.
  • Rappresentare insiemi di dati, anche facendo uso di un foglio elettronico.

Obiettivi formativi. L’alunno:

  • utilizza le proprietà delle potenze per interpretare un documento storico;
  • analizza problemi descrivendone il testo, stimando la soluzione, risolvendoli attraverso un’equazione;
  • utilizza il foglio elettronico per organizzare la risoluzione per prove ed errori di un problema.

Attività laboratoriali. La presente Unità di Apprendimento riprende il tema della Matematica nella storia1 ed è finalizzata all’utilizzo dei documenti storici per ripercorrere alcune delle tappe principali dell’introduzione al pensiero algebrico nel triennio secondario inferiore. Per affrontare le attività laboratoriali, gli alunni dovranno dunque aver già avuto un primo approccio al calcolo letterale, in particolare alle proprietà delle potenze espresse in forma generale. Le utilizzeranno, infatti, per interpretare i documenti tratti dalla Practica d’Aritmetica di Francesco Ghaligai (disponibile in http://books.google.it). Quest’opera è analoga ad altri manuali dei secoli che vanno dal 1200 al 1600 (lo stesso Ghaligai riconosce ad un altro matematico, Giovanni del Sodo, la paternità dei simboli che utilizza, così come cita il “maestro Luca” Pacioli).
Un suggerimento didattico che ci può venire da questi manuali riguarda l’introduzione del calcolo letterale in un’unica variabile. Evitando di insistere su espressioni con più indeterminate si ricondurranno più facilmente gli alunni ai significati che le lettere possono assumere (un segmento di lunghezza incognita, il quadrato o il cubo, considerando gli aspetti geometrici). Inoltre, nella secondaria di primo grado si troverà una finalizzazione più diretta alla parte conclusiva del percorso triennale, riguardante le equazioni di primo grado e i problemi risolvibili con esse. La coesistenza di aspetti formali e di significati va considerata una risorsa per la comprensione da parte degli alunni.

Fase 1. Lavorare sui documenti originali. Nel simbolismo usato da Ghaligai (Figure 1a e 1b) è da notare come varie potenze dell’incognita vengano indicate con simboli specifici e come vi siano notevoli diversità rispetto al simbolismo moderno. Va però colta la “logica” con la quale sono costruiti questi simboli: dal quadrato (o “censo”), al “cubo”, ecc.
L’alunno verrà guidato nell’interpretazione dei documenti attraverso domande come quelle di seguito riportate; potrà averle a disposizione in forma scritta, per un lavoro in piccoli gruppi, oppure potranno essere utilizzate dall’insegnante per un intervento a classe intera.

Immagine1aFigura 1a

Rispondi alle richieste che seguono, esaminando con attenzione la tabella tratta dall’edizione del 1548 della Practica d’Aritmetica di Francesco Ghaligai.

  1. Trova la parola “cosa” e scopri in quale modo particolare viene indicata la lettera ‘s’.
  2. Trova il valore di: 23; 210; 215; 21; 20.
  3. Completa indicando l’esponente: “La parola ‘censo’ è scritta accanto a 2”.
  4. Quale parola Ghaligai scrive accanto al valore di 23?
  5. Con quale altra parola puoi chiamare quello che Ghaligai chiama ‘censo’?
  6. Completa la seguente uguaglianza: 16 = 2; osserva poi che, accanto a 16, Ghaligai scrive per due volte “□ di □”: per capire cosa significa, completa anche l’uguaglianza 16 = (2).
  7. Utilizzando ancora le potenze di 2, scrivi il calcolo che puoi ricavare da “□ di □ di □”.
  8. Scrivi i sei numeri primi minori di 15 (ricorda che 1 non è un numero primo!); usali come esponente e prendi come base il numero 2; calcola queste potenze e trascrivi i simboli che Ghaligai scrive accanto ad ognuna.
  9. Invece delle potenze di 2 prendi le potenze di 3 e rifai la colonna di destra della tabella di Ghaligai (puoi servirti della calcolatrice tascabile o di un foglio elettronico).
  10. In questa nuova colonna sottolinea il valore della “cosa”, del “censo”, del “cubo”, del “□ di □”, del “□ di □ di □”.
  11. Utilizza la tabella e, applicando le proprietà delle potenze ma senza fare altri calcoli, trova i valori di: (32)3; (33)3; (33)5; ((32)3)2.
  12. Potresti rifare la colonna di destra con altri valori per la “cosa”: 4, 5, 6, 7… Ora però indica la “cosa” con la lettera x e rifai la colonna di destra della tabella di Ghaligai scrivendo le potenze di x.
  13. Utilizza quest’ultima colonna e in essa trova il “cubo”, il “censo”, il “□ di □”, il “□ di □ di □”.

Immagine1bis

 Figura 1b

Ecco qui altre piccole parti, tre proposizioni, dalla Practica d’Aritmetica. Ricorda che con “uie” Ghaligai intende “moltiplicato per” (leggi “uie” come “vie”: ecco un’altra lettera scritta in modo diverso da quello che tu usi di solito).

  1. Trascrivi le tre proposizioni di Ghaligai utilizzando parole della lingua italiana.
  2. Trascrivi le proposizioni di Ghaligai sotto forma di uguaglianze fra espressioni letterali usando le potenze di x.

Gli antichi testi di matematica spesso presentano ricche raccolte di problemi risolvibili con equazioni di primo grado. Ne analizzeremo anzitutto uno utilizzando anche la risoluzione proposta dall’autore. Successivamente ci serviremo di un’equazione, per risolvere la quale utilizzeremo la somma di monomi simili di primo grado. In effetti, parlare di monomi simili apparirà sovrabbondante perché sarà proprio il fatto che l’incognita rappresenta uno specifico elemento del problema a giustificare che si possa farne la somma.

“Essempio 3.
Havendo uno comprato un’armento di pecore, & un’altro di vacche, & uno di cavalle, & essendoli domandato, quanto havesse speso per ciscuno e in tutti, rispose quello delle pecore mi costa 1/5 delli denari che io havevo, e le vacche mi costano 1/4 delli medesimi denari che io havevo, e le cavalle mi costano il 1/3 delli medesimi denari, e mi sono restati 1300 scudi con li quali penso di comprare un paro di cavalli per la carozza, hora si domanda quanto mi costò ciascuno armento, e quanti erano tutti li denari di costui”.

Domenico Griminelli, Novissima prattica d’aritmetica mercantile, 1670.

Gli alunni troveranno curioso il modo di scrivere ma dovranno considerare che si tratta di un manuale del 1600. In collaborazione con l’insegnante di lettere, potranno venire chiamati anzitutto a trascrivere il testo in italiano contemporaneo.
Per risolvere il problema, Griminelli propone l’antichissimo metodo di falsa posizione, che contiene una parte di ragionamento basata su un esempio di prova, un tentativo da utilizzare per il prosieguo della risoluzione (in questo senso si collega al metodo proposto ai ragazzi per la risoluzione del problema di Paolo Dell’Abbacho che analizzeremo più avanti). Il numero utilizzato come primo tentativo, Griminelli lo sceglie in modo che dia luogo a calcoli “facili”, anche se risulta palesemente errato considerando i dati del problema. Si noti che, nonostante la sua opera sia del 1670, egli non usa i segni moderni di operazione né simboli letterali, come invece faremo noi nella seguente traccia per l’alunno.

  1. Trova un numero che sia multiplo tanto di 5 che di 4 che di 3: chiamiamolo m (Griminelli sceglie il minimo multiplo comune ai tre numeri e lo considera come valore della spesa, come primo tentativo per arrivare alla soluzione).
  2. Calcola la spesa per le pecore, per le vacche e per le cavalle, cioè calcola 1/5, poi 1/4 e poi 1/3 di m.
  3. Chiamiamo n la somma dei tre valori precedenti; verifica che n è minore di m (*).
  4. Avendo speso n scudi, calcola quanto avanza degli m scudi, cioè calcola mn.
  5. Griminelli trova poi la soluzione con questo ragionamento: immaginando di avere m scudi me ne avanzano 13; allora quanto denaro aveva in tutto quel tale se gli sono avanzati 1300 scudi? Rispondi a questa domanda con un tuo ragionamento oppure impostando e risolvendo una proporzione.
(*) Potevi prevederlo considerando che 1/5 + 1/4 + 1/3 è minore di 1: verificalo.

Con i ragazzi si potrà considerare l’eventualità di fare un tentativo che miri alla soluzione esatta, cioè che tenga conto anche del dato “1300 scudi”, e da quello partire per sviluppare il resto del ragionamento.
Non si mancherà di condurre gli alunni alla soluzione tramite un’equazione. Indicati con x i “denari che aveva” quel tale, si può scrivere:

Immagine2Risolvendo, si ottiene che quel tale disponeva di 6000 scudi e quindi per le pecore aveva speso 1200 scudi, per le vacche 1500 scudi e per le cavalle 2000 scudi.

Fase 2. Risolvere “antichi” problemi con un foglio elettronico. Il prossimo è uno degli antichissimi problemi sull’acquisto di tre tipi di animali con numero totale e spesa complessiva uguali a k. Il sistema in due equazioni e tre incognite risulterà avere un’unica soluzione grazie ai particolari valori numerici.

“190.   Uno spexe 48 d. in 48 ucciellj di 3 ragionj cioè tordj, allodole e paxxere; e costoglj il tordo 4 d. e ll’allodola 2 d. e lla paxxera ¼ di d.. Domando quantj ucciellj ebbe di ciaschuna ragione”.

Paolo dell’Abbaco, Trattato d’aritmetica, a cura di Gino Arrighi, Domus Galilæana, Pisa 1964.

I ragazzi saranno guidati alla realizzazione di un foglio elettronico con cui organizzare i tentativi di risoluzione (Figura 2). A tale scopo, dovranno conoscere preliminarmente lo strumento informatico e in particolare l’uso delle formule per poter esprimere il calcolo delle spese relative ai diversi tipi di uccelli ed i totali. Se nella classe vi saranno degli alunni ritenuti in grado di affrontare il problema autonomamente, l’insegnante potrà prevedere una fase introduttiva in cui siano loro a proporre strategie di risoluzione. In questo caso, la scrittura di formule e l’uso del foglio di calcolo saranno allora finalizzati ad un approfondimento delle modalità di organizzazione ed esposizione dei procedimenti risolutivi.

Immagine3

Figura 2.

Si potrà, in conclusione, mostrare agli alunni quello che scrive lo stesso Paolo Dell’Abbaco per quanto riguarda la soluzione, vale a dire:

“… 4 tordi e poj 12 allodole e ll’avanzo paxxere che xono 32; raccoglj 4 e 12 e 32 fa 48 ucciellj e rachoglj il chosto cioè 16 e 24 e 8 d.che xxono 48 d. …”

La fase di lavoro sui documenti richiederà almeno cinque ore di lezione, oltre ad altre attività eventualmente mirate al rinforzo.

Fase 3. Realizzare il prodotto finale. L’attività conclusiva consisterà nella raccolta dei diversi documenti utilizzati e nella loro illustrazione corredata da informazioni sugli autori e da alcune considerazioni sul simbolismo (sarà sufficiente quanto detto in precedenza contestualmente alla presentazione dei documenti ma potranno venire svolti degli approfondimenti personali in rete tramite le parole-chiave: storia, simboli, matematica). Lavorando in coppia, gli alunni opereranno così una riorganizzazione di quanto appreso e ritroveranno ulteriori motivazioni riguardo all’utilizzo dei documenti storici. I ragazzi deboli potranno incontrare difficoltà ad utilizzare in forma integrata le varie modalità di simbolizzazione, andranno perciò seguiti con particolare attenzione durante la prima fase di attività a classe intera e durante il lavoro in coppia, cercando ad esempio l’affiancamento con un compagno in grado di stabilire proficui rapporti di collaborazione.

Verifica, valutazione, monitoraggio. Trattandosi di un’UA riepilogativa rispetto a contenuti affrontati in vari momenti del triennio, l’insegnante potrà verificare preliminarmente tramite una prova scritta il possesso di conoscenze e abilità in merito alle proprietà delle potenze ed alla risoluzione di equazioni. Per queste ultime, considerato l’esempio di problema proposto, non verrà richiesta la proprietà distributiva, a meno che l’insegnante non desideri utilizzare anche altri problemi per cui essa risulti necessaria. Egli registrerà la disponibilità degli alunni a lavorare con i documenti storici: le loro prime reazioni, le loro opinioni eventualmente espresse in modo immediato e non formale, la ricerca spontanea dell’interpretazione. Per completare il debriefing, si raccoglierà il gradimento dell’attività: gli alunni lo avranno espresso per iscritto, nella parte finale del loro prodotto, rispondendo a domande che riguardino il valore aggiunto fornito dai documenti e l’occasione che essi offrono per entrare in contatto con la storia della nostra cultura.
Le verifiche riprenderanno le domande utilizzate nella fase di interpretazione degli originali, modificandole ad esempio nei valori numerici. Anche riguardo alla richiesta di impostare un foglio elettronico si utilizzeranno problemi dello stesso tipo. Dunque, queste prove avranno una parte scritta e una da realizzare al computer. Le prove orali saranno preziose per raccogliere elementi riguardo al livello di autonomia degli alunni ed alla loro disponibilità ad operare approfondimenti personali: in questo senso riguarderanno il raggiungimento del livello di eccellenza. Conseguiranno il livello di accettabilità gli alunni che sapranno riprodurre i procedimenti utilizzati in classe e sapranno illustrare i punti del loro prodotto finale.

Adriano Demattè


  1. Altre UA sullo stesso tema:
    A. Demattè http://www.didatticare.it/collocare-il-teorema-di-pitagora-nella-storia-e-nellattualita/, http://www.didatticare.it/misurare-come-nel-cinquecento/http://www.didatticare.it/operare-come-gli-antichi/
    D. Cipressi http://www.didatticare.it/sperimentare-le-regole-dellabaco-ragionare-insieme-sullaritmetica-del-medioevo 

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