Operare come gli antichi

Unità di apprendimento di Matematica per la classe prima
di Adriano Demattè

Compito unitario. Illustrare le tecniche delle quattro operazioni confrontandole con quelle che appaiono in documenti storici medioevali o rinascimentali e realizzare una presentazione che comprenda esempi di calcolo scritto, spiegazioni degli algoritmi, indicazioni sul contesto storico del periodo d’origine dei documenti e considerazioni personali.

Competenza. L’alunno si muove con sicurezza nel calcolo anche con i numeri razionali, ne padroneggia le diverse rappresentazioni e stima la grandezza di un numero e il risultato di operazioni.

Obiettivi di apprendimento (leggi).

Obiettivi formativi. L’alunno:

  • analizza la tecnica per eseguire le quattro operazioni così come viene presentata in un documento medioevale o rinascimentale e la sa utilizzare in semplici esempi;
  • illustra analogie e differenze fra le tecniche a lui note e quelle presenti in un documento storico, soffermandosi in particolare sulla successione dei calcoli parziali e sulla loro disposizione sul foglio;
  • riferisce dell’importanza storica del calcolo scritto in alternativa all’uso dell’abaco, con riferimento alla nuova realtà economica legata ai commerci e all’artigianato.

Attività laboratoriali. Le attività avranno lo scopo di realizzare un’occasione per ripensare quanto fatto nella scuola primaria a proposito del calcolo con i numeri naturali e con i razionali scritti sotto forma di numero con virgola. Gli aspetti addestrativi dovranno ben presto lasciare il posto al coinvolgimento in attività laboratoriali che anzitutto consentano al ragazzo di riportare alla memoria quanto effettivamente sa, inserendolo in un percorso personale di recupero o di potenziamento delle conoscenze e delle abilità. Sarebbe a tal fine improduttivo, e fors’anche mortificante, riproporre esercitazioni reiterate sulle tecniche già affrontate nella scuola primaria. Potrà invece essere più motivante allargare la prospettiva offrendo, come nella proposta che viene fatta nel presente intervento, alcuni riferimenti alla storia della matematica. Non si tratterà di richiedere nuove nozioni da memorizzare faticosamente, ma di fare matematica esercitando abilità che nel contesto della storia potranno trovare nuovi significati. L’atto conclusivo del lavoro sarà la realizzazione di una presentazione a contenuto pluridisciplinare: cartelloni da produrre in gruppo o un file da realizzare lavorando in coppia oppure alcune schede da inserire nel quaderno ottenute operando individualmente. L’insegnante fornirà indicazioni su come strutturare il lavoro: anzitutto riportare ingranditi i calcoli riportati di seguito nel presente documento, quindi corredarli di commenti puntuali che illustrino i successivi passaggi inserendo anche riferimenti al proprio modo di effettuare i calcoli per iscritto. Ciò offrirà lo spunto per rilevare analogie e differenze: a volte l’alunno, nella sua esperienza passata, non avrà operato esattamente come gli “antichi” ma, per gli aspetti matematici di fondo, sicuramente avrà sempre fatto come loro. Le varie fasi di un calcolo possono essere scritte sul foglio in modo diverso, ma c’è sempre un incolonnamento delle unità, delle decine…, nella moltiplicazione e nella divisione si usa la proprietà distributiva e così via. Gli alunni non saranno in grado di compiere un’analisi piena (ciò non sarà fra gli obiettivi) ma comunque cogliere qualche analogia contribuirà ad una maggiore consapevolezza nell’utilizzo di regole altrimenti destinate a rimanere “magiche ricette”.
La fase di analisi delle diverse tecniche di calcolo potrà protrarsi per un periodo di due settimane di lezione.

Immagine1Leonardo Fibonacci (ca. 1170-1250), Liber abaci.

Addizione dei numeri naturali 543, 1232, 146. Si noti che la somma viene scritta in alto; mancano i simboli ‘+’ e ‘=’, divenuti d’uso comune solo alcuni secoli più tardi.

Immagine2Anonimo, Larte de labbacho (1478). Sottrazione di 348 da 452.

Immagine3Francesco Feliciano, Scala Grimaldelli (secolo XVI).

Moltiplicazione “a gelosia” di 9 876 per 6 543. Il prodotto è 64 618 668; in esso, la cifra 6 delle decine è ottenuta da 4+1+1, la cifra 6 delle centinaia è ottenuta da 0+2+8+2+4 (il riporto va utilizzato per il calcolo della cifra successiva) ecc.

Immagine4Dionigi Gori, General Trattato (XVI secolo).

Divisione di 3868 per 12 “a galera”. Il divisore viene riscritto e poi barrato a ogni passaggio; sopra il dividendo vengono scritti i resti parziali (38:12 ha resto 2 e così via). Si noti, a destra, la frazione 4/12; infatti: 3868/12 = 322 + 4/12 (l’uso della linea di frazione risale al Medioevo).

Per esempio: vogliamo sommare 135 col suo decimo […] sarà così:

Immagine5sommandoli farà 148’5. Poi sommiamolo col suo decimo […]. Sarà così:

Immagine6sommandoli farà 163’35 cioè centosessantatre più trentacinque di cento; cioè un quarto e un decimo. Sommiamolo col suo decimo, trovando prima il suo decimo. Poi sommiamoli così:

Immagine7bisfarà 179’685, e davanti al posto delle unità c’è 685 riferito al mille, perché il posto delle unità è il quarto in questo [numero]. Se lo sommiamo col suo decimo una quarta volta farà 197’6535. E quando sommiamo questo col suo decimo farà 217’41885. Riferiamo così che ciò che precede il posto delle unità è 41885 […].

Al-Uqlidisi, Capitoli sull’aritmetica indiana (X secolo).

Proprio Al-Uqlidisi suggerisce di porre un segno in alto, a destra della cifra delle unità. “Trentacinque di cento” significa 35 centesimi, vale a dire 0,35 oppure 35/100.

Note biografiche.
LEONARDO PISANO, detto FIBONACCI, si trasferì in Algeria con il padre ivi chiamato a dirigere una dogana della Repubblica marinara di Pisa. Fece numerosi viaggi nel grande impero musulmano, durante i quali apprese la matematica che poi raccolse nella sua opera più nota, il Liber abaci. In essa espose la numerazione in cifre “degli indiani”, che tuttora noi usiamo, illustrò la tecnica per l’addizione, la moltiplicazione, la sottrazione e la divisione, riportò problemi e rompicapi.
FRANCESCO FELICIANO nacque a Lazise, cittadina della sponda veronese del Lago di Garda. Il suo Scala Grimaldelli è un libro che ha avuto varie edizioni e comprende geometria, aritmetica, algebra.
DIONIGI GORI (1510 – ca. 1586) fu a lungo maestro d’abaco nella sua città natale, Siena, dove ricoprì pure alcuni incarichi pubblici. È autore di due trattati: Libro d’Albaco e Libro di Arimeticha dei quali solo negli ultimi anni è avvenuta la pubblicazione di alcune parti.
AL-UQLIDISI, Abùl-Hasan Ahmad ibn Ibrahim. L’appellativo Al-Uqlidisi veniva dato ai copisti dell’opera di Euclide. Lavorò a Damasco dove, poco dopo la metà del X secolo, scrisse il suo trattato Capitoli sull’aritmetica indiana. Va osservato che in Europa, la diffusione del calcolo con i numeri decimali si ebbe a partire dalla fine del XVI secolo grazie al contributo di matematici come il belga Simon Stevin (Stevino).

La moltiplicazione “a gelosia” viene chiamata a volte “fulminea”, indicazione del fatto che talora consente di ottenere il risultato più velocemente che con le tecniche oggi maggiormente in uso. La divisione “a galera”, invece, appare un po’ più macchinosa ma ha il pregio di mettere bene in evidenza i singoli passaggi.
Per delineare il quadro del periodo nel quale queste tecniche di calcolo si sono diffuse, potrà essere importante la collaborazione con l’insegnante di storia. In tale contesto pluridisciplinare, si ricercheranno le possibilità di coinvolgere anzitutto i ragazzi con difficoltà nel calcolo. Durata di questa fase: circa 3 ore.

Verifica, valutazione, monitoraggio. Durante la fase di recupero delle conoscenze e delle abilità apprese nella scuola primaria e durante la realizzazione del materiale che illustra le tecniche storiche delle quattro operazioni, l’insegnante avrà cura di osservare gli alunni nella realizzazione del compito: concentrazione, sistematicità e organizzazione del lavoro, capacità di confrontarsi con gli altri.
Per l’ulteriore verifica e la successiva valutazione delle competenze, gli alunni risponderanno a quesiti che riguarderanno anzitutto le loro conoscenze degli algoritmi di calcolo scritto dell’addizione, della sottrazione, della moltiplicazione, della divisione di numeri naturali e con virgola.
La successiva fase della verifica riguarderà l’esposizione del materiale prodotto. La riproposizione integrale potrebbe rischiare di essere un atto prolisso e poco significativo, per cui converrà utilizzare richieste mirate, analoghe alle seguenti:
se dovessi spiegare ad un tuo amico come si esegue l’addizione scritta di tre numeri naturali o decimali, quali istruzioni gli daresti?
Ora il tuo amico ha imparato. Spiegagli adesso come Fibonacci avrebbe svolto lo stesso calcolo, mettendo in evidenza:
– che cosa si nota di diverso fra i due modi di eseguire l’addizione scritta;
– cos’hanno in comune il tuo procedimento e quello di Fibonacci;
– perché sono entrambi corretti.
Il docente, come documentazione dell’attività, raccoglierà i lavori dai quali emerga la consapevolezza dell’”essenza matematica” che accomuna i diversi modi di eseguire le operazioni. Non mancherà di conservare quegli elaborati che, al contrario, mostrino difficoltà nell’integrare aspetti operativi, riflessione ed esposizione (perché l’alunno trova insolito l’accostamento di diverse modalità espressive con riferimento alla matematica o perché effettivamente esiste una scarsa consapevolezza nell’utilizzo degli algoritmi di calcolo).
L’autovalutazione costituirà una fase essenziale per la maturazione dell’alunno: la si potrà avviare al termine di questa esperienza, come modalità da riproporre nei mesi e negli anni a venire. Nella tabella seguente sono indicati i criteri che riguardano una parte della presente Unità di Apprendimento, quella riguardante l’esecuzione dei calcoli scritti, che il riferimento agli esempi storici è finalizzato a migliorare.

Immagine8bisPer quanto riguarda la realizzazione della presentazione pluridisciplinare sull’importanza storica del calcolo scritto in alternativa all’uso dell’abaco, raggiungeranno il livello di accettabilità gli alunni che sapranno evidenziare le esigenze professionali soddisfatte dal nuovo calcolo scritto attraverso esempi verosimili, riferiti a ipotetiche situazioni di vita quotidiana. Raggiungeranno l’eccellenza i ragazzi che sapranno aggiungere considerazioni di carattere generale alla produzione di esempi.

Adriano Demattè

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