Narrare melodie e funzioni nel piano cartesiano

Unità interdisciplinare di Matematica e Musica per la classe terza
di Diana Cipressi e Annalia Valentini

Compito unitario. Esprimere il pensiero creativo ed emotivo dell’età adolescenziale, attraverso la rappresentazione cartesiana di melodie musicali, rette, iperboli o parabole. Produrre un libro multimediale.

Schema UA interdisciplinare

Prodotto. Il lavoro finale sarà composto da due pagine di presentazione (titolo, foto di classe, nome degli alunni), due per la rappresentazione di segmenti ed estensione di strumenti, tre pagine per la rappresentazione di funzioni lineari e rette sonore ed altre tre per la rappresentazione di funzioni non lineari e relative melodie.
Ogni pagina pari raffigura una rappresentazione cartesiana e quella dispari una rappresentazione musicale correlata e un link collegato ad un file sonoro.
Il libro viene pubblicato online in modalità sfogliabile su http://it.calameo.com

immagine_iniziale

 Obiettivi formativi. L’alunno:

  • utilizza le rappresentazioni grafiche bidimensionali in matematica e musica;
  • individua e descrive le caratteristiche di una funzione matematica, di una scala musicale e di una melodia;
  • progetta e realizza il libro multimediale.

Attività laboratoriali.
Fase 1. MATEMATICA. Il piano cartesiano. Cartesio (1596 – 1650) ebbe la brillante intuizione di cercare un raccordo tra la geometria e l’algebra, creando una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coppie di numeri reali. In questo modo realizzò la possibilità di rappresentare algebricamente linee geometriche, quali la retta, l’iperbole ecc.
Iniziamo quindi con la presentazione del piano cartesiano, mediante la rappresentazione di punti e segmenti, affinché gli alunni acquistino padronanza nell’uso di coppie di numeri ordinati (x; y).

mat1

A questo punto proponiamo l’osservazione di un pentagramma, le cui informazioni devono essere riportate su un piano cartesiano.

mus1

 Gli alunni annotano sul quaderno:

N° di battute in chiave di SOL =2
Tempo di una battuta = 2/4
N° di pause da 1/8 = 1
N° di crome da 1/8 = 3
N° di minime da 1/2 = 1
Frequenza del SOL = 392 Hz
Frequenza del MIb = 311,1 Hz.

Chiediamo ora di rappresentare la precedente partitura su un piano cartesiano, ponendo sull’asse delle ascisse il tempo (sec) e su quello delle ordinate la frequenza (Hz). Tracciamo quindi il grafico (Figura 1) ed evidenziamo che:

  • il sistema cartesiano non è monometrico (una unità di misura per l’asse delle x e una per l’asse delle y);
  • l’unità temporale è data da un segmento unitario, disposto lungo l’asse delle ascisse; l’unità di frequenza viene disegnata di 100 in 100;
  • il primo spazio vuoto rappresenta la pausa musicale;
  • i tre segmenti AB, BC e CD consecutivi, di lunghezza 1 unità e paralleli all’asse delle x ad un’altezza corrispondente alla frequenza di 392, rappresentano il SOL ripetuto tre volte;
  • il segmento EF di lunghezza 4 unità si trova ad un’altezza pari alla frequenza del MI.

mat2

Figura 1. Grafico tempo-frequenza.

Come si può facilmente constatare, la rappresentazione rende ben visibile in orizzontale la successione temporale delle note e in verticale la loro altezza, distinguendo i suoni gravi da quelli acuti.
Possiamo proporre come esercizio per casa il procedimento inverso: da un grafico sul piano cartesiano scrivere un pentagramma corrispondente (con l’uso di una tabella di frequenze musicali consultabile su http://www.febat.com/Musica/Frequenze_musicali.pdf).

MUSICA.
Presentazione del progetto interdisciplinare partendo dalla nascita della notazione musicale. Nel medioevo non si aveva una notazione adeguata, ma un promemoria della melodia con alcuni segni (neumi) posti sopra le parole; un decisivo passo avanti avvenne quando uno scrivano tracciò una linea rossa orizzontale per rappresentare l’altezza del FA e raggruppò i neumi attorno a quella linea;

FA

col tempo si tracciò una seconda linea, solitamente gialla, per indicare il DO

DO

fino ad arrivare al tetragramma (rigo musicale di 4 linee) ottenuto mediante l’aggiunta di due linee nere alle due colorate.

mus2

 Nell’anno 1000  il monaco benedettino Guido d’Arezzo (922 ca.-1050) mise ordine nel modo di scrivere la musica, con l’invenzione della rappresentazione spaziale bidimensionale delle altezze legate al tempo per mezzo delle superfici e dei punti, teorizzata nel suo trattato Prologus in Antiphonarium, con il quale anticipò di tre secoli le coordinate di Oresme e di sette secoli la geometria analitica di Cartesio e Fermat.
Dopo questa breve presentazione sulle origini della scrittura musicale, l’insegnante cercherà di sviluppare nei ragazzi la motivazione al lavoro interdisciplinare narrare melodie e funzioni sul piano cartesiano attraverso una discussione guidata che li porti ad individuare i possibili collegamenti con i quali possono avvenire gli scambi e le esperienze tra le due diverse discipline.
Rifletteranno sul sistema di scrittura musicale, composto di rigo musicale sul quale si collocano le note-durate: un sistema di notazione che non si discosta molto dalla rappresentazione cartesiana e facilmente si spingeranno a sostenere che i suoni possono essere rappresentati attraverso il mezzo grafico, perché i parametri del suono come l’altezza e la durata possono essere messi in corrispondenza biunivoca.
L’insegnante mostrerà alcuni esempi di musiche scritte con gli assi cartesiani e ne proporrà pure l’ascolto.

Rappresentazione di punti-note e segmenti-melodie sul piano cartesiano. Paul Klee (1879-1940) nel suo testo Teoria della forma e della figurazione rappresenta una frase musicale a tre voci di J. S. Bach tratta dall’Adagio della VI Sonata per violino e cembalo BWV 1019, e usa la rappresentazione cartesiana.  Dal punto di vista musicale è interessantissimo far notare agli allievi-sarebbe bene proiettare il grafico con la LIM-come Klee rappresenta graficamente le battute indicando le note a sinistra sull’asse delle ordinate  che coprono un ‘estensione di tre ottave: dal FA1 al MI5, mentre i tempi sono assegnati all’asse delle ascisse. Nel grafico si rendono manifeste la rappresentazione verticale delle altezze e lo svolgimento orizzontale delle tre linee melodiche sovrapposte molto più che nella tradizionale notazione.

Esempio tratto da Teoria della forma e della figurazione di P. Klee
Rappresentazione della seconda battuta dell’Adagio dalla Sesta sonata per violino e clavicembalo di Johann Sebastian Bach

mus2a

La seconda battuta dell’Adagio dalla Sesta sonata per violino e clavicembalo di Johann Sebastian Bach

mus3

Evidenti i vantaggi per i ragazzi che riescono a visualizzare immediatamente sia l’organizzazione ritmica, che l’andamento melodico, che la struttura contrappuntistica del pezzo. Inoltre l’analisi che fa Klee del breve frammento potrebbe essere proposta agli allievi insieme all’ascolto del brano bachiano.
Esperienze simili saranno eseguite in piccoli gruppi con l’insegnante che agevolerà le attività.
Le consegne potrebbero essere: rappresenta con gli assi cartesiani un breve brano a tua scelta, assegna all’asse delle ascisse il tempo e a quello delle ordinate la gamma delle note, dopo l’osservazione del grafico scrivi una breve analisi.
A titolo esemplificativo diamo la trascrizione di un frammento del canto tradizionale americano: Oh, my Darling Clementine.

mus4

Trascrizione sugli assi cartesiani del canto tradizionale americano: Oh, my Darling Clementine.

mus5_corretta

Dal grafico risulta immediatamente che l’andamento della melodia è semplice e facilmente memorizzabile, è costruita sull’accordo di sol maggiore, presenta un punto culminante- il Re acuto- e si chiude all’in giù sulla nota La che fa parte dell’accordo di dominante.

Fase 2. MATEMATICA. Funzioni lineari. Lo scopo di questa attività è guidare gli alunni verso una definizione di funzione lineare. Proponiamo di rappresentare sul piano cartesiano una serie di frazioni equivalenti, ponendo il denominatore sull’asse delle x e il numeratore sull’asse delle y.

Dalla sequenzamat3ricaviamo la tabellamat4a

e disegniamo sul piano cartesiano i punti di coordinate:

 A(2,1)                         B(4,2)             C(6,3)             D(8,4)

Come si osserva nella Figura 2, la linea che unisce i punti disegnati è una retta uscente dall’origine. mat5

 Figura 2. Grafico di frazioni equivalenti

Dalle uguaglianze:mat6

 deduciamo che il numeratore x e il denominatore y sono legati tra loro dalla relazione: y=1/2x. Con il software Geogebra, gli alunni possono disegnare una serie di grafici di rette del tipo y=mx e y=mx + q. Ad esempio visualizziamo il grafico y=3x  e modifichiamo l’equazione della retta in y=3x + 1; vedremo come la seconda non passa più per l’origine, come si può osservare in Figura 3. Diremo che il grafico della funzione lineare è l’insieme dei punti aventi ascissa x e ordinata y=f(x).mat7

 Figura 3. Confronto tra i grafici y=3x e y=3x + 1

MUSICA. Rette sonore nel piano cartesiano. In questa fase i ragazzi, che hanno acquisito e sperimentato nelle ore di matematica le funzioni lineari, guidati dall’insegnante di musica, giungeranno alla sonorizzazione delle rette nel piano cartesiano.
È opportuno che il docente, prima di presentare il lavoro interdisciplinare, riprenda le nozioni di semitono, di intervallo e di scala e le relazioni di altezza al suo interno. Poi, partendo dal conosciuto, cioè le funzioni e i grafici cartesiani e le scale musicali, avvierà i ragazzi al confronto tra le due discipline chiedendo loro di avventurarsi nel possibile, ma sconosciuto campo delle rette sonore nel piano cartesiano.
I ragazzi si divideranno in piccoli gruppi e dopo un’osservazione attenta del materiale matematico e musicale che l’insegnante metterà loro a disposizione, aiutati da alcune domande stimolo, proveranno, all’interno di ciascun gruppo, ad ipotizzare e poi a verificare le tipologie di scale che scaturiscono dalle formule delle funzioni lineari.
Ciascun gruppo si renderà immediatamente conto che i vincoli posti dalle formule matematiche permettono solo poche possibilità di movimento e di conseguenza la costruzione di due sole scale musicali, la cromatica e quella per toni interi.
Descriviamo il percorso seguito dai gruppi.
Il docente seguirà ogni gruppo e a ciascuno consiglierà nella fase di trasposizione dalla matematica alla musica di far assumere sempre alla variabile x il tempo e a quella delle y la successione dei semitoni così da evitare pericolosi ingarbugliamenti che esulano dalla nostra didattica laboratoriale.
Dalla discussione di gruppo emerge che, in musica, l’elemento che visivamente può essere assimilato ad una retta matematica è la scala ascendente, la quale però rispetto alla retta ha il doppio vantaggio di poter essere eseguita (con la voce e gli strumenti) e di poter essere ascoltata.
Dalla funzione matematica y= f(x) gli alunni ricavano la scala cromatica di DO. Indicando, infatti, sull’asse della x il tempo (un secondo= al valore di una semiminima) , e sull’asse delle y la successione dei semitoni partendo dal DO, costruiscono la seguente tabella:mus6

Rappresentazione sul piano cartesiano della scala cromatica di DO a semiminimemus7

La relazione viene rappresentata mediante un diagramma cartesiano, il grafico che ne risulta è una retta sonora uscente dall’origine degli assi corrispondente alla scala cromatica di DO a semiminime che verrà subito dopo trascritta sul pentagramma ed eseguita su una tastiera.
Scala cromatica di DO a semiminimemus8

Il docente suggerirà, poi, di provare a trasformare in musica la relazione  y=1/2x precedentemente studiata in matematica. Si otterrà la stessa scala cromatica di DO, ma con valori raddoppiati con effetto rallenti.
Scala cromatica di DO a minimemus9

Inoltre, potrà invitare i gruppi alla costruzione di scale cromatiche differenti, ad esempio: quale formula matematica permette di visualizzare la scala cromatica di RE? E quella di SI?
Sempre in gruppo si verificherà che con l’impiego della formula y = x+1 si ottiene la scala cromatica di DO#; con la formula y = x+2 la scala cromatica di RE; e così via. Potrebbe continuare chiedendo: come si può ottenere la scala cromatica di SI2 sotto al DO centrale? Qual è la formula matematica che ci permette di rappresentarla? I ragazzi si accorgeranno che la retta non passerà più per l’origine.
Ma le funzioni lineari permettono pure la costruzione di un altro tipo di scala, quella per toni interi detta scala esatonale dal compositore C. Debussy ( 1862-1918) . Eccone un esempio: scala per toni interi a semiminime derivata dalla funzione y= 2x-1mus10_bis

Sulla semiretta positiva delle y , la scala cromatica di DO con i diesis; sulla negativa la scala cromatica  discendente con i bemolli; sull’ascissa la durata: un quadretto corrisponde alla semibreve.
Traduzione del grafico in partitura:  scala per toni interimus11

Proporre l’ascolto di brani costruiti sulla scala esatonale. Ad esempio: ascolto di Voiles preludio di Claude Debussy fondato sulla scala esatonale; l’uso di questa scala permette di liberarsi dalla gerarchia tonale e di sviluppare nei ragazzi dei punti di riferimento utili alla comprensione della musica dell’epoca moderna.
Una ulteriore proposta partendo dalla musica e precisamente dall’ascolto con partitura del pezzo n.136 tratto dal V volume del Mikrokosmos di B. Bartok (1881-1951).
Dopo l’ascolto e l’analisi della partitura, individuate la scala usata dal compositore e provate a trovare l’equazione della retta che la descrive e a rappresentarla graficamente nel piano.

Dal V volume del Mikrokosmos di B. Bartok : Whole-tone Scale n.136mus12

 
Fase 3. MATEMATICA. Funzioni non lineari.
La parabola. Osservando le note sul seguente pentagramma, che cosa notiamo?mat8

Gli alunni osservano che le note “salgono” e poi “scendono”; in cima c’è il MI, infine la melodia si ripete.
Chiediamo: ma in che modo le note salgono? Aumentano di altezza? Aumentano di frequenza?
In matematica possiamo distinguere varie funzioni “crescenti”. Per esempio confrontiamo i due grafici della Figura 4 relativi a due funzioni f1 (rosso) e f2 (blu).mat9

 Figura 4. Retta e parabola

Gli alunni devono ricavare dal disegno coppie di valori (approssimati) per ciascuna funzione:mat10

Come si vede facilmente la prima funzione cresce più in fretta della seconda nel primo tratto, per x compreso tra 0 e 2, e poi la situazione si ribalta. Quindi concludiamo:

  • la retta f1 è una funzione crescente
  • la funzione f2 è una funzione, che alla lunga, cresce più rapidamente.

Non sarà difficile trovare la “regola” che esprime la funzione f2 che consente di passare dai valori di x a quelli di y. I numeri 1, 4, 9, ecc. sono quadrati perfetti e quindi l’equazione della funzione f2 – che chiameremo parabola – è y=x2.
Che tipo di grafico avremo con l’equazione y=x2 + 1? Con Geogebra visualizziamo immediatamente che si tratta ancora di una parabola, traslata in direzione dell’asse delle y (come nel caso di una retta).

L’iperbole.  Rappresentiamo le note sull’asse delle ordinate (SOL diesisMI, RE, DO diesis), con segmenti paralleli all’asse delle x per indicarne la durata temporale. Analizziamo le coordinate degli estremi di tali segmenti (Figura 5)

B(1; 8)             D(2; 4)            F(4; 2)             H(8; 1)mat11

 Figura 5. Iperbole

Notiamo che il prodotto delle coordinate di ciascun punto è costante: 1× 8 = 2 × 4 = 4 × 2 = 8 × 1. Quindi in generale la linea che unisce questi punti è data da xy= 8 cioè y=8/x.

MUSICA. Melodie come parabole e iperboli.
La melodia come parabola. La lezione potrebbe iniziare proponendo alla classe la definizione di melodia data dal musicista francese Vincent D’Indy: “ una successione di suoni diversi tra loro per durata e altezza”. Dalla riflessione emergerà che, quando parliamo di melodia, l’altezza dei suoni e la durata non possono essere separati, sono due caratteristiche fondamentali che vengono scelte dal compositore per la loro funzione espressiva e poiché la melodia si fa corrispondere alla frase nel linguaggio parlato, si dedurrà per analogia che è possibile assimilarla alla parabola in matematica.
Verifichiamo l’analogia : melodia= parabola, prendiamo a modello una facile melodia ad arco per esempio: Ah! Vous dirai-je Maman di W.A. Mozart, e tracciamo una linea continua che colleghi e segua l’andamento delle note sul pentagramma  otterremo uno schema grafico, quasi una radiografia, in tutto simile a un’ampia parabola: da un riposo o equilibrio iniziale verso un punto massimo di tensione, e di nuovo a un riposo finale sulla stessa nota DO dell’inizio.
Esempio tratto da Ah!Vous dirai-je Maman  di W.A.Mozart.mus13

Ogni melodia ha le sue caratteristiche e per capirne la logica compositiva non ci si può limitare alle sole note scritte sul pentagramma, è, invece, utile  realizzare una immagine essenziale, ma precisa e accurata, che esalti i rapporti di altezza tra i suoni; possiamo chiedere ai discenti quale metodo si potrebbe usare? ci sentiremo rispondere: – usiamo i metodi delle funzioni non lineari. Mettiamoci dunque a lavoro sempre in piccoli gruppi e con testi e quaderni di matematica e musica pronti per la consultazione.
Possiamo cominciare partendo dall’equazione della  parabola y=x2, già studiata e visualizzata nelle lezioni di matematica, applicare la stessa regola, assegnando all’asse delle ordinate la successione dei semitoni e a all’asse delle x la durata temporale e trascrivere sul pentagramma il tipo di melodia ricavata. L’effetto sonoro sarà di una delicatissima melodia, quasi un arpeggio che si dispiega, allargandosi sempre di più, verso l’acuto.mus14

 

mus15

Sollecitiamo i vari gruppi a rovesciare la nostra parabola melodica, prima musicalmente, si esegue la melodia leggendola da destra verso sinistra, dal do# 5 fino al do3 centrale, poi la si trascrive sul pentagrammamus16

e lo si accosta al pentagramma precedente, abbiamo completato l’arco melodico  e ascoltato una splendida melodia ad arpeggio.mus17

Si chiede infine di rappresentare anche in matematica il grafico  della funzione non lineare y= x2 che sarà composto da due archi simmetrici  rispetto all’asse y.
L’ascolto con partitura di brani costruiti su melodie a parabola completano il laboratorio sulle melodie a parabola.
Possono essere proposti brani tratti dal Clavicembalo ben temperato di J. S. Bach, oppure dagli Studi op.10, e op. 25 di Chopin.
Esempio di melodia a parabola: Studio n.1 op.25 di F. Chopinmus18

La melodia come iperbole. Melodie a iperbole regolate dalla proporzionalità inversa.
Il docente propone la sonorizzazione dell’iperbole, riparte dal grafico dell’iperbole già presentato in matematica (Figura 5), chiede di sistemare le note in partitura facendo attenzione a ben trascrivere le altezze  e le durate; ricorda alla classe che il DO -0 corrisponde al DO centrale 3 della tastiera del pianoforte e che l’unità di misura, corrisponde ad una semiminima, fa notare pure che il punto/nota B non attacca subito e l’ultima nota ha una durata non stabilita dal grafico.
Ecco la trascrizione del grafico a iperbole (in questo caso si è deciso di assegnare al DO# la stessa durata delle altre note):mus19

Dall’esecuzione del motivo musicale scaturisce una breve discussione su che cosa suscita o esprime questa curva discendente, quale stato d’animo e come potrebbe essere inglobata in una breve composizione e con quale titolo. La realizzazione del pezzo con l’iperbole potrebbe avvenire in classe, tutti insieme; la partitura con la sua registrazione farà parte del libro multimediale.

Fase 4. MATEMATICA e MUSICA. Prodotto finale. Dividiamo la classe in gruppi assegnando compiti e incarichi ben precisi:mat_mus_1

 Ogni gruppo rappresenta la funzione sul piano cartesiano con Geogebra e ne descrive le caratteristiche e gli insegnanti visionano i lavori, aiutando i ragazzi a trovare i raccordi tra i vari elaborati. Due alunni infine assemblano i materiali prodotti raccogliendoli in una presentazione multimediale. Il lavoro finale verrà pubblicato su http://it.calameo.com/. La prima cosa da fare è accedere al sito e creare il proprioaccount gratuito tramite il servizio di iscrizione e di registrazione. Infine cliccando sul tasto, in alto a destra della pagina crea una pubblicazione, si potrà realizzare il libricino sfogliabile.

Verifica, valutazione e monitoraggio.
MATEMATICA. Per la verifica formativa si possono vagliare gli elaborati eseguiti in itinere sui quaderni che sono una testimonianza del percorso formativo.
Come verifica sommativa si propone la tipologia di un questionario, con domande che richiedono risposte argomentative aperte e domande a risposta multipla.

  • Nel grafico tempo-frequenza riportato nella Figura 1
    1. Qual è l’unità di misura per il tempo?
    2. Che cosa rappresentano i segmenti consecutivi AB, BC, CD?
    3. I segmenti del grafico sono paralleli ad un asse. Come si chiama tale asse?
  • Disegna i grafici delle funzioni  y=3x e y=3x + 1.
    1. Di quale tipo di grafico si tratta?
    2. Qual è la differenza tra i due grafici?
  • Osserva la figura e considera la parabola y=5/6 x2 – 7/6x . I punti A, C, E, G appartengono alla parabola? I punti A, B, D, F, H? Giustifica la risposta eseguendo la verifica.mat_mus_2

 L’alunno raggiunge il livello dell’accettabilità se comprende e usa correttamente la funzione lineare e raggiunge il livello di eccellenza se utilizza con sicurezza tutti i tipi di grafici, giustificando in modo esauriente le sue scelte.

MUSICA. L’insegnante valuterà i materiali, gli stessi che vengono poi utilizzati nel libro multimediale, scaturiti dai  lavori di gruppo, avvalendosi di una griglia che dovrà tener conto del metodo e della pianificazione del lavoro, della correttezza grafica delle trasposizioni musicali, delle capacità esecutive vocali e strumentali, dell’utilizzo funzionale delle registrazioni audio.
Procederà poi ad una verifica delle conoscenze e abilità mediante la somministrazione di un questionario che potrà essere di questo tipo:

  1. inventa una melodia a parabola, scrivila sul pentagramma e poi rappresentala graficamente indicando la sua funzione;
  2. costruisci una scala cromatica con l’effetto ridolini, annotala sul pentagramma, poi disegnane il grafico chiedendoti quale variabile cambieresti e con quali valori?
  3. Esegui la melodia proposta su di una tastiera.

Ad esempio:mat_mus_3

Individua e descrivi le sue componenti, poi riporta le note-punti su un piano cartesiano, quale figura ottieni? Quale formula la esprime?
L’alunno risponde a due dei tre quesiti, sa eseguire anche con qualche incertezza le melodie, rappresenta graficamente sia la funzione lineare che una delle due non lineari (accettabilità); risponde correttamente a tutte le domande, esegue con padronanza le melodie proposte e inventate, disegna e ricava in modo esatto le  funzioni richieste, dimostrando una buona flessibilità mentale e capacità di entrare nella logica interdisciplinare (eccellenza).

Diana Cipressi e Annalia Valentini

 

Un Commento:

  1. Mi sembra un progetto interessantissimo. Avevo appunto pensato all’idea di utilizzare il piano cartesiano come dversa rappresentazione della notazione musicale e qui ho trovato un sacco di spunti. Me lo studierò e l’anno prossimo partirò subito con questo lavoro. Grazie
    Natasa

I commenti sono chiusi