Misurare applicando le proprietà delle figure

Unità di apprendimento di Matematica per la classe seconda
di Adriano Demattè

Questa Unità di Apprendimento, riprendendo il tema della Matematica nella storia trattato dallo stesso autore nell’UA Misurare come nel Cinquecento , applica e sviluppa tecniche e strumenti del passato.

Compito unitario. Realizzare semplici strumenti e utilizzarli per effettuare misurazioni.

Competenza. Affrontare situazioni problematiche individuando le fonti e le risorse adeguate, raccogliendo e valutando i dati.

Obiettivi di apprendimento.

  • Conoscere definizioni e proprietà (angoli, assi di simmetria, diagonali, …) delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
  • Riconoscere figure piane simili in vari contesti e riprodurre in scala una figura assegnata.
  • Stimare per difetto e per eccesso l’area di una figura delimitata anche da linee curve.

Obiettivi formativi. L’alunno:

  • utilizza materiali e realizza strumenti per misurare distanze (relativamente a terreni ed edifici);
  • individua triangoli simili e ne utilizza le proprietà;
  • calcola aree di appezzamenti delimitati anche da linee curve.

Attività laboratoriali. Per affrontare il delicato passaggio dalle conoscenze e dall’esercizio di abilità alla loro applicazione in situazioni diverse, vengono qui proposte attività per la misurazione di distanze, delle quali servirsi per il calcolo di aree di terreni. A tale scopo, l’alunno sarà condotto all’utilizzo di materiali e alla realizzazione di strumenti per cui dovrà servirsi dei concetti di base della geometria, fra i quali quello di similitudine.

Fase 1. I ragazzi lavoreranno all’aperto e avranno a disposizione una corda metrica, o almeno un doppio metro e dello spago da utilizzare per individuare una retta e rendere l’uso del doppio metro più preciso. Dunque supporremo che la misura diretta di una lunghezza non produca difficoltà. Qui esaminiamo il caso in cui l’oggetto O, di cui si voglia determinare la distanza, non sia accessibile perché si trova, ad esempio, oltre una strada trafficata. Supponiamo quindi di voler determinare la distanza di O da A (Figura 1).

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Figura 1.

Un ragazzo stazionerà in A. Dovrà disegnare una figura e per ciò userà come appoggio, ad esempio, uno scatolone che sia abbastanza alto (oppure due uniti saldamente o un tavolino o uno sgabello…). Traguardando verso O, orienterà nella direzione AO una riga appoggiata su un foglio; segnerà un punto C. Traguardando verso un altro punto accessibile B distante n  decametri da A (6, nell’esempio in figura), segnerà il punto D distante n centimetri da A ottenendo il triangolo ACD. Sarà bene poi fissare l’allineamento AB collocando dei segnali allineati (come dei paletti verticali piantati nel terreno o infilati in altri scatoloni, o delle aste di leggii per spartiti musicali…).
Il ragazzo prenderà poi scatolone d’appoggio e disegno ed andrà nel punto B, posizionando il triangolo come in Figura 1. Traguardando da D verso O e prolungando il lato AC individuerà il punto C’.
La misura (in centimetri) del lato AC’ indicherà la distanza (in decametri) di O da A. La spiegazione di ciò dipende dal fatto che i triangoli ADO e ADC’ sono simili avendo angoli corrispondenti uguali. In Figura 2 viene mostrato il caso in cui il punto C’ è interno al segmento AC.

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Figura 2.

Negli esempi precedenti, per fissare le idee si sono usati centimetri e decametri. Considerate sia le condizioni nelle quali il ragazzo è chiamato a realizzare il disegno che la necessaria precisione, però, sarà bene scegliere un’unità di misura diversa in modo da ottenere un triangolo più grande.
Si potrà affrontare anche il problema di determinare l’altezza di un edificio AB (o di un albero, di un pennone…) che si elevi sul piano orizzontale dell’osservatore (Figura 3). Ora il ragazzo lavorerà sul foglio disposto verticalmente e, con l’aiuto di un filo a piombo, su di esso traccerà la retta CD. Se m è la distanza in decametri dall’edificio, traccerà OC lunga m centimetri. Traguarderà verso B in modo da individuare la posizione del punto D. La lunghezza di CD  indicherà la lunghezza di BE. Ad essa dovrà aggiungere la lunghezza di OF uguale ad EA. Anche in questo caso la giustificazione del procedimento è legata alla similitudine dei triangoli.

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Figura 3.

Lo squadro (Figura 4) è uno strumento che consente di tracciare allineamenti perpendicolari. Per costruirlo si potrà utilizzare un materiale facilmente lavorabile ma adeguatamente compatto come un piccolo pannello di poliuretano espanso dello spessore di almeno 5 cm, nel quale si tratterà di realizzare con cura due incisioni perpendicolari tramite un taglierino o un seghetto. Lo si collocherà in cima ad un’asta da piantare nel terreno (o in un altro pezzo di poliuretano appoggiato a terra…).

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Figura 4.

Dato un terreno di forma poligonale (Figura 5) esso verrà suddiviso in triangoli di cui, con lo squadro, sarà possibile individuare le altezze. A tale scopo, i ragazzi sposteranno lo strumento lungo una base, traguarderanno da una delle incisioni verso i due estremi e dall’altra verso il terzo vertice in cui saranno stati collocati dei paletti. Per tentativi arriveranno dunque a posizionarsi nel piede dell’altezza. Misurando le lunghezze potranno calcolare l’area del poligono come somma delle aree dei triangoli.

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Figura 5.

L’area di una figura a bordo curvilineo (Figura 6) potrà essere determinata individuando una linea principale lungo la quale spostarsi per ottenere le lunghezze che servano a calcolare le aree di trapezi rettangoli e triangoli, la cui somma approssimerà quella dell’intera figura. Si rifletterà con i ragazzi su come operare per migliorare tale approssimazione. L’insegnante potrà anche considerare che, trattando di lunghezze lungo direzioni perpendicolari, questa attività contiene l’idea di sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

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Figura 6.

Verifica, valutazione, monitoraggio. La parte principale della verifica riguarderà l’effettuazione delle misurazioni. L’insegnante informerà gli alunni che la valutazione considererà anche il fatto che alcuni di loro potranno mostrare di aver acquisito le modalità operative già durante lo svolgimento delle attività (eccellenza). Chiederà agli altri, che ne avranno bisogno, di seguire da vicino le misurazioni effettuate dai compagni, di discutere le varie fasi e di affrontare quindi una prova di verifica basata proprio sull’effettuazione di qualcuna delle misurazioni. Anche le riflessioni sugli aspetti teorici costituiranno oggetto della verifica. Conseguiranno il livello di accettabilità gli alunni che sapranno indicare come riconoscere che due triangoli sono simili e come calcolare l’area di poligoni e figure a bordo curvilineo. L’eccellenza sarà appannaggio di coloro i quali sapranno argomentare in merito alle inevitabili approssimazioni e agli errori nell’effettuazione delle prove pratiche.
Per un bilancio dell’esperienza, insegnante ed alunni si avvarranno di griglie come la seguente.

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 Adriano Demattè

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