Mettere in atto procedimenti logici

Unità di apprendimento di Matematica per la classe terza
di Adriano Demattè.

Compito unitario. Formalizzare i ragionamenti messi in atto dai ragazzi, anche diversi purché riferiti allo stesso problema, e organizzarli in una raccolta.

Obiettivi formativi. L’alunno:

  • utilizza contenuti del triennio per argomentare, dedurre, dimostrare;
  • illustra proposizioni riguardanti insiemi di oggetti numerici e geometrici utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn;
  • discute il valore di verità di proposizioni anche attraverso l’uso di esempi e controesempi.

Attività laboratoriali. La classe terza si presta a una revisione dei contenuti in un’ottica che valorizzi le capacità di un alunno ormai al termine del proprio percorso nella secondaria di primo grado. A partire dai problemi, i procedimenti logici riguarderanno dunque varie conoscenze ed abilità. Su di esse verranno costruite attività sempre caratterizzate dall’impostazione laboratoriale, pur basandosi su un uso sistematico del simbolismo algebrico e di altri aspetti specifici del linguaggio matematico. In tale contesto si intende promuovere nel ragazzo l’utilizzo di procedimenti logici, di schemi e simboli per analizzare proposizioni matematiche.
Si potrà avviare l’attività realizzando schede biografiche su illustri personaggi che hanno contribuito a sviluppare il linguaggio ed il simbolismo matematico.

Leonhard_Euler Leonhard Euler (1707 – 1783) è più noto in Italia come Eulero. Nacque a Basilea, città nella quale compì i suoi studi. Insegnò presso l’Università di Pietroburgo per oltre un decennio e, dal 1741 al 1766, a Berlino. Ritornò a Pietroburgo, dove morì. Diede fondamentali contributi a pressoché tutti i rami della matematica, lasciandoci una mole impressionante di lavori, alcuni dei quali a carattere didattico.

Venn_JohnJohn Venn (1834 – 1923) nacque a Hull, in Gran Bretagna. Si occupò di logica matematica, di calcolo delle probabilità e di statistica. Scrisse opere che vennero accolte con favore dai suoi contemporanei: Logic of Chance nel 1866, Symbolic Logic nel 1881, The Principles of Empirical Logic nel 1889. Morì a Cambridge.

Gottfried_Wilhelm_von_LeibnizGottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) nacque a Lipsia, città nella quale iniziò i suoi studi. Completò la sua formazione a Jena e Altdorf. Per tutta la vita si occupò di politica e compì numerosi viaggi in vari Paesi europei.
Insieme a Newton è considerato il fondatore del calcolo infinitesimale, un’importante branca della matematica, nel quale introdusse il simbolismo che usiamo ancora oggi.
Leibniz utilizzò rappresentazioni grafiche analoghe a quelle che oggi sono chiamate diagrammi di Eulero-Venn.
Ecco un esempio.
«Ogni B è C»
«Ogni uomo è animale»

dematte_UA2_fig1La rappresentazione grafica mostra che tutti gli uomini sono compresi entro tutti gli animali. Ma […] non tutti gli animali sono contenuti entro tutti gli uomini.1

Come ricordano i Documenti nazionali, per le attività laboratoriali ed educative rivolte a conoscenze ed abilità che si riferiscono all’Introduzione al pensiero razionale è necessario un coordinamento della matematica con tutte le altre discipline. In questa UA vengono indicate alcune iniziative centrate sul gioco, sulla realizzazione di materiale illustrativo e sulla comunicazione. Anche l’insegnante di lettere troverà gli elementi per inserirsi con i fondamentali apporti del suo specifico disciplinare.
La durata dell’intera attività è prevista in circa dieci ore.

Fase 1. Si potrà assegnare alla classe divisa in gruppi un problema adeguatamente stimolante e non banale, e chiedere di sostenere con adeguate argomentazioni la soluzione trovata.
Ad esempio:
– sul prezzo di un paio di jeans devi pagare un’imposta del 20% ma ti viene fatto lo sconto del 15%: preferisci che venga calcolata prima l’imposta o lo sconto? Perché?
Oppure:
di un acquario conosci il peso quando è completamente pieno d’acqua ed il peso quando è pieno per metà: come faresti a trovare il peso dell’acquario vuoto?
L’utilizzo dei diagrammi di Eulero-Venn offrirà lo spunto per proporre interessanti problemi:
– secondo te, quale rappresentazione illustra meglio l’affermazione: “non tutti gli elefanti sono africani”?
Oppure:
come vanno collocati uno rispetto all’altro gli insiemi dei multipli di 6 e dei multipli di 8? E quelli dei multipli di 3 e dei multipli di 6? E quelli dei multipli di 3 e di 4?
Di fronte al resto della classe, un gruppo di alunni illustrerà la propria soluzione, ma “entrerà in contraddittorio” con un altro gruppo che dovrà intervenire in modo critico riguardo alla bontà delle argomentazioni prodotte. Uno o due alunni raccoglieranno, come “giornalisti”, la cronaca del dibattito. Verrà nominato pure un “giudice” il quale stabilirà se il gruppo che ha illustrato la propria soluzione abbia assolto bene il proprio compito ribattendo validamente alle obiezioni dell’altro gruppo. Quanto raccolto dai giornalisti potrà essere trascritto e diventare materiale di documentazione a disposizione di tutti gli alunni della classe.

Fase 2. In un’altra situazione riguardante il gioco del Pensa un numero (ad esempio: “pensa un numero, raddoppialo, addiziona 4, dimezza, sottrai il numero pensato;… ti risulta 2”) gli alunni potranno riflettere sul perché si ottiene proprio la metà del numero addizionato, illustrare le loro conclusioni con una descrizione verbale, produrre esempi, riportare controesempi nel caso in cui abbiano fatto congetture errate, spiegare con il simbolismo algebrico.
Osserviamo come, nei Documenti nazionali, la proposta di Obiettivi specifici di apprendimento che riguardano l’Introduzione al pensiero razionale privilegi le abilità. Praticamente in tutte le attività laboratoriali dedicate alla matematica sarà possibile individuare degli obiettivi attinenti l’Introduzione al pensiero razionale.  All’interno delle attività indicate sopra, si potranno proporre agli alunni quesiti e problemi finalizzati al conseguimento degli obiettivi riguardanti insiemi e connettivi logici: nella parte dell’UA dedicata alle verifiche è possibile trovare qualche altro esempio da riprendere e adattare.
Il simbolismo algebrico può essere un mezzo per produrre dimostrazioni ma ovviamente caratterizzerà un itinerario formativo da destinare per la maggior parte alla secondaria superiore.

Verifica, valutazione, monitoraggio. In riferimento agli obiettivi formativi prefissati, si propongono tre gruppi di verifiche.
Nel primo si richiede l’utilizzo dei contenuti del triennio per argomentare, dedurre, dimostrare. L’alunno sostiene correttamente le argomentazioni attraverso il richiamo degli argomenti affrontati in precedenza (accettabilità); interpreta autonomamente scritture simboliche, riconducendole al loro significato geometrico (eccellenza).

– Quali delle seguenti frasi definiscono in modo corretto un insieme? Perché?

– i numeri naturali;
– i numeri portafortuna;
– i poligoni con quattro lati;
– i poligoni decorativi.

– Dimostra che la somma di quattro numeri naturali consecutivi è un numero pari: anzitutto indica con n un numero naturale e scrivi il quarto dei numeri consecutivi qui sotto, in corrispondenza dei puntini.dematte_UA2_fig2– Scrivi infine la somma, semplifica e interpreta il risultato.

Nel secondo gruppo di prove si chiede di illustrare proposizioni riguardanti insiemi di oggetti numerici e geometrici utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn. L’alunno utilizza diagrammi di Eulero-Venn già predisposti (accettabilità); realizza diagrammi di Eulero-Venn partendo dalle proprietà di particolari insiemi (eccellenza).

– Osserva il diagramma.dematte_UA2_fig3

    – Scegli e colloca in esso tre numeri che siano multipli di 4 o multipli di 6 (possono essere multipli di entrambi oppure di uno solo dei due numeri).
– Scegli tre numeri che siano multipli di 6 e multipli di 4, quindi inseriscili nel diagramma precedente.
– Scegli e colloca nel diagramma tre numeri che siano multipli di 4 ma non di 6.
– Scegli e colloca nel diagramma precedente almeno tre numeri che non siano multipli di 4 di 6.

– Analizza ora le affermazioni seguenti e associa a ciascuna di esse un diagramma di Eulero-Venn. Quali sono vere? Quali false?

– Tutti i multipli di 4 sono pari.
– Qualche multiplo di 9 è anche multiplo di 6.
– Tutti i multipli di 3 sono dispari.
– Ogni multiplo di 3 è multiplo di 6

Nelle verifiche di seguito proposte è necessario discutere il valore di verità di proposizioni, anche attraverso l’uso di esempi e controesempi. L’alunno produce esempi e controesempi per giustificare le proprie scelte (accettabilità); inserisce la produzione di esempi e controesempi in argomentazioni in cui discute proposizioni generali (eccellenza).

– Quali fra le seguenti affermazioni sono vere? Quali false? Spiega il perché delle tue scelte anche usando esempi e controesempi.

– Tutti i numeri primi sono dispari.
– Ogni multiplo di 6 è multiplo di 3 e ogni multiplo di 3 è multiplo di 6.
– Ogni numero naturale o è pari o è multiplo di 3.
– La somma di tre numeri naturali consecutivi è un numero pari.
– Non esistono triangoli rettangoli che siano anche isosceli.

Per gli alunni diversabili, l’Introduzione al pensiero razionale si potrà avvalere di esempi tratti da situazioni familiari, non necessariamente riguardanti tutti i contenuti matematici citati nel presente intervento.
La revisione critica delle attività prenderà come riferimento principalmente l’esperienza sulla soluzione di problemi e sull’argomentazione. Appare evidente come, da un lato, sia necessario riflettere se i quesiti scelti si siano rivelati utili allo scopo di stimolare congetture e discussioni, dall’altro se gli alunni abbiano ricoperto in modo partecipe e produttivo i ruoli loro affidati all’interno delle attività laboratoriali.

Adriano Demattè 

Le immagini degli scienziati contenute in questo articolo sono tratte dal sito di wikipedia


  1. Gottfried Wilhelm Leibniz, Opuscules et fragments inédits.
    http://archive.org/stream/opusculesetfrag00bibgoog#page/n321/mode/2up 

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