Matematica nella storia: frazioni e divisioni nei secoli

Unità di Apprendimento di matematica per la classe prima, collegata a Analizzare la divisione con resto,
di Adriano Demattè

La presente UA condivide con quella ad essa collegata, il compito unitario, la competenza, gli obiettivi di apprendimento e formativi.

Ulteriore obiettivo formativo.
L’alunno utilizza in forma integrata divisione e frazione.

Attività laboratoriali. Gli alunni ritroveranno nei documenti storici concetti e procedure già analizzati in precedenza. Saranno così stimolati a trasferire le conoscenze in nuovi contesti, utilizzando anche abilità linguistiche, ed incontrando nuovi spunti sulla storia della civiltà.
Sappiamo quanto sia importante guidare gli alunni alla comprensione del testo dei problemi e delle consegne degli esercizi: le varie formulazioni ricavate dagli originali storici costituiranno un modo per portare la loro attenzione sugli aspetti verbali che introducono ragionamenti e procedure di calcolo. I documenti costituiranno materiale per la realizzazione dell’elaborato previsto nell’Unità di Apprendimento collegata.
Nella conduzione delle attività, una particolare cura meriteranno gli alunni con difficoltà di attenzione. Se, da un lato, lo stimolo di un testo storico (magari stampato con caratteri d’epoca) potrà essere accattivante, dall’altro le inevitabili difficoltà legate alla sua interpretazione potranno costituire motivo d’interruzione dell’attenzione. Il lavoro di gruppo sarà una risorsa da considerare, così come l’ausilio di un compagno in qualità di tutor.
L’insegnante calibrerà il ruolo da assegnare agli spunti biografici tratti dal web. La loro lettura non avrà l’obiettivo di apprendere nuove nozioni bensì di ricostruire o anticipare alcuni riferimenti alla storia della civiltà: il periodo in cui il matematico è vissuto, l’importanza della sua opera (e, quindi, l’indiretta attestazione dell’importanza dei temi trattati in classe), il richiamo di vari argomenti noti all’alunno di cui essa si occupa.
In questa fase potranno venire coinvolti altri insegnanti, come quelli di storia e di arte.
Anche dal lavoro con la presente Unità storica emergeranno potenzialità ed eventuali difficoltà legate all’introduzione precoce del calcolo con le frazioni e del simbolismo letterale. Si osservi, peraltro, come la semplicità degli esempi proposti consenta di eliminare molte delle difficoltà che solitamente emergono in quesiti articolati (intendendo quelli con varie operazioni in lunghe espressioni, con insidie legate alla precedenza delle operazioni…) e di stimolare l’alunno a recuperare analogie confrontandosi con gli esempi già esaminati nell’UA collegata.
Qui di seguito sono riportati alcuni, per lo più brevi, documenti storici. Ciascuno è corredato da domande-guida per l’alunno impegnato nell’interpretazione. L’insegnante potrà utilizzarle come materiale scritto per una scheda di lavoro da consegnare ai ragazzi oppure potrà servirsene per guidare direttamente il lavoro in classe.
Nella pagina tratta dal Liber Abaci di Fibonacci – edizione curata da Baldassarre Boncompagni – i ragazzi vedranno come le frazioni possano essere utilizzate per la divisione. Noteranno che nel documento non compare un segno specifico per questa operazione, così come non compaiono quelli per la moltiplicazione, l’addizione (come nel successivo, breve spunto di Tartaglia), la sottrazione. Nei documenti conclusivi di Eulero dedicati anzitutto alla formalizzazione della divisione con resto apparirà il segno di addizione e sarà sottinteso quello di moltiplicazione. I due spunti di Paolo dell’Abbaco dovranno far riflettere gli alunni sulla divisione “per contenenza” e “per partizione”: dividere per un terzo produce un risultato maggiore del dividendo (si potrà pensare anche ad una rappresentazione grafica), dividere in 6 parti uguali un valore minore di 6 darà un risultato minore di 1. Oltre al documento citato, da Eulero sono tratti due schemi che l’insegnante potrà anche scegliere di sottoporre agli alunni come rompicapi in un momento precedente all’Unità di Apprendimento.

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 Figura 1. Dal Liber Abaci di Leonardo Pisano (Fibonacci), p.251

Immagine2_dem Figura 2. Rifacimento della Figura 1.

a) Calcolare 1/2 di un numero naturale è come dividerlo per 2: scrivi alcuni esempi ricavati dalla tabella di Figura 2.
b) Spiega perché 1:2 dà come resto 1.
c) Quali sono i resti possibili nella divisione per 4?
d) Immagina di dover spiegare il contenuto della tabella ad un tuo amico: prepara una relazione usando, fra l’altro, le parole-chiave frazione, divisione, resto.
e) Immagina di estendere la tabella di Fibonacci: quali sono i resti possibili nella divisione per 8?

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Figura 3. Dal General Trattato di Tartaglia.2

 Tartaglia dice: “Fa’ così: dividi 13 per 6, si ottiene  2 (e) 1/6”. (Figura 3)

Quale sarà il significato della scrittura 2 (e) 1/6? Per rispondere a questa domanda, analizziamo assieme le informazioni presenti nella breve frase di Tartaglia approfondendole attraverso le domande seguenti:

a) Tartaglia scrive “dividi”: quali sono quoziente e resto di questa divisione?
b) Con i numeri 13 e 6, quale frazione va scritta?
c) Fra 2 e 1/6 quale operazione devi fare in modo da ottenere la frazione precedente?

Dal Trattato d’aritmetica di Paolo dell’Abbaco, edizione a cura di Gino Arrighi, Domus Galilæana, Pisa 1964.3

Quesito n.3: “Parti 12 per 1/3”.

a) Prima di eseguire la divisione, sapresti capire se il risultato sarà più grande o più piccolo di 12? Perché?
b) Esegui la divisione.
c) Paolo suggerisce anche di fare la prova della divisione moltiplicando il risultato per il divisore: eseguila anche tu.

Quesito n.5: “Parti 5 (e) 3/4 per 6”.

a) Prima di eseguire la divisione, sapresti prevedere se il risultato sarà più grande o più piccolo di 1? Perché?
b) Esegui la divisione e fai la prova.

Dal primo volume dell’Algebra di Eulero, pp.41-2, traduzione dall’edizione francese dell’anno III dell’Era repubblicana.4

… prendiamo come divisore il numero 3. I numeri divisibili per questo divisore sono: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 e così via. Questi numeri possono venir rappresentati dall’espressione 3a, poiché 3a diviso per 3 dà il quoziente a senza resto. Tutti gli altri numeri che vogliamo dividere per 3 danno 1 oppure 2 come resto e sono quindi di due tipi. Quelli che dopo la divisione lasciano resto 1 sono:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 ecc.
e sono espressi da 3a + 1. L’altro tipo, cioè i numeri che danno resto 2, sono:
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 ecc.
e la loro espressione generale è 3a + 2.
Così tutti i numeri si possono indicare o con 3a o con 3a + 1 o con 3a + 2.

Cerca nel documento:

a) Qual è il risultato della divisione 3a : 3
b) Trascrivi almeno tre numeri che nella divisione per 3 danno resto 1 e altri tre che nella divisione per 3 danno resto 2.
c) Con l’uso delle lettere, in quale modo si può esprimere un numero naturale che nella divisione per 3 dà resto 1? E uno che dà resto 2?

Ora approfondisci pensando ad altri casi che non sono presenti nel documento di Eulero.

a) Come si può indicare un numero che nella divisione per 4 dà resto zero?
b) Scrivi tre numeri che nella divisione per 4 danno resto 1, tre che danno resto 2, tre che danno resto 3.
c) In che modo si può esprimere con le lettere un numero naturale che nella divisione per 4 dà resto 1? E uno che dà resto 2? E uno che dà resto 3?

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Figura 4. 

Nel capitolo che riguarda la divisione fra numeri interi del primo volume dell’Algebra di Eulero (pp. 36 e 37) troviamo questi due schemi (Figura 4).

41 = 36 + 5 = 9 · 4 + 5  e 34 = 30 + 4 = 6 · 5 + 4.

a) Interpretali riflettendo sul ruolo di ciascuno dei numeri e scrivendo le operazioni nella forma che tu conosci.

Un’altra frase di Eulero (p.54): “43/12 è la stessa cosa di 3 (e) 7/12”.

b) Spiega questa affermazione.

Verifica, valutazione, monitoraggio. Una parte degli spunti tratti dagli originali storici mostrati nell’ambito delle attività laboratoriali potrà essere utilizzata per le verifiche: si veda, ad esempio, l’ultima frase tratta da Eulero, che riprende lo spunto precedente di Tartaglia.
Conseguiranno il livello di accettabilità gli alunni che sapranno affrontare esempi di calcolo analoghi a quelli presentati nei documenti. L’eccellenza sarà appannaggio di coloro che sapranno interpretare con successo gli schemi di Figura 4 e utilizzare il simbolismo letterale per descrivere compiutamente gli ampliamenti del documento di Eulero sulla divisibilità e sui resti.

Adriano Demattè


  1. http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015017403570;view=1up.
    Notizie biografiche in http://www.treccani.it/enciclopedia/leonardo-fibonacci/ 

  2. http://mathematica.sns.it/opere/22/. Notizie biografiche in http://www.treccani.it/enciclopedia/niccolo-tartaglia/

  3. Notizie biografiche in http://www.treccani.it/enciclopedia/paolo-dagomari_%28Dizionario-Biografico%29/

  4. Notizie biografiche in http://www.treccani.it/enciclopedia/leonhard-euler/

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