Crescere tutti insieme, con radice di 2

Unità di apprendimento di Matematica per la classe seconda
di Diana Cipressi

Compito unitario. Percorrere un viaggio nella storia di radice di 2 e scoprire l’irrazionalità. Allestire una rappresentazione teatrale.

Competenza. Spiegare il procedimento seguito mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo che sui risultati. Utilizzare e interpretare il linguaggio matematico e coglierne il rapporto con il linguaggio naturale.

Obiettivi di apprendimento. Conoscere la radice quadrata come operatore inverso dell’elevamento a potenza. Dare stime della radice quadrata. Sapere che non si può trovare una frazione che elevata al quadrato dà 2.

Obiettivi formativi. L’alunno:

  • riconosce la radice come operazione inversa della potenza;
  • confronta e ordina numeri decimali;
  • rappresenta coppie di numeri sul piano cartesiano per poter riconoscere l’irrazionalità di radice di 2.

Attività laboratoriali. Il numero √2 è il “protagonista” di una rappresentazione teatrale recitata dalla classe in tre scenette successive “un numero decimale illimitato“, “un numero storico” e “un numero irrazionale”, che serviranno a delineare le peculiarità di questo numero antichissimo. Le proposte sono formulate per  l’esecuzione di lavori di gruppo, evidenziate in fondo a ciascun paragrafo con il colore blu.

Fase 1. Un numero decimale illimitato. Roberto è – nel libro Il mago dei numeri di Hans M. Enzensberger – un ragazzo che come tanti ha l’incubo della matematica. E una notte, nel capitolo 4, gli appare un ometto con il quale scopre l’estrazione di radice.
L’insegnante potrà presentare la radice di due con la lettura delle pagine di questo capitolo, per avviarne l’esplorazione e per dare un’idea alla classe su come scrivere un dialogo da mettere in scena.
Sappiamo che per calcolare l’area A di un quadrato occorre moltiplicare la misura di un lato l per se stessa, cioè A=l2. Viceversa come possiamo calcolare la misura del lato l di un quadrato, conoscendone l’area A? Esaminiamo alcuni semplici esempi:

se A=9 cm2      allora l=3 cm perché 3×3=9
se A=16 cm2    allora l=4 cm perché 4×4=16.

In generale diremo che se A=l2 allora  √A=l e che l’estrazione di radice è l’operazione inversa della potenza.
Supponiamo ora che l’area del quadrato ABCD sia 2 cm2 (Figura 1) . Come facciamo a stabilire la misura del suo lato x? Poiché 2 non è un quadrato perfetto, la risposta non è immediata e bisogna ricorrere a qualche “magia”.

Immagine1_cipressiFigura 1. La radice di 2 e il quadrato

Formuliamo alcune ipotesi:

· se l=1 cm allora 1 cm × 1 cm = 1 cm2 ; ma 1 cm2 è minore dell’area del quadrato ABCD;
· se l=2 cm allora 2 cm × 2 cm = 4 cm2; ma 4 cm2 è maggiore dell’area del quadrato ABCD.

Essendo 1<AABCD<4, anche i lati dei tre quadrati seguono la stessa relazione d’ordine cioè
√1<√2<√4 e quindi 1<√2<2.
Scopriamo così che 1 è una approssimazione per difetto e 2 è una approssimazione per eccesso.

Lavoro di gruppo. Per la realizzazione della scena teatrale alcuni alunni dovranno procurarsi uno scatolone da ricoprire con un foglio nero, dal quale far uscire un grande disco misterioso con il disegno di radice di 2, qualche accessorio per un abbigliamento da mago, tre quadrati di cartone come quelli della Figura 1, ma di dimensioni maggiori.
Questi alunni scriveranno un dialogo tra un mago e un ragazzo nel quale verrà illustrato il confronto tra le aree dei quadrati e i rispettivi lati.

Rappresentiamo su un foglio a quadretti il risultato ottenuto (Figura 2) , ponendo sull’asse delle ascisse le aree dei quadrati (1, 2 e 4) e su una retta parallela le lunghezze dei rispettivi lati (1 e 2). Abbiamo così un’idea approssimata della posizione occupata da radice di 2.

radice di 2 e retta orientata_1Figura 2. La radice di 2 e la retta orientata

Poiché abbiamo capito che è un numero decimale, sarà interessante conoscere alcune delle sue cifre decimali.
In realtà quando abbiamo a che fare con i numeri decimali, abbiamo spesso la necessità di approssimarli, stabilendo un grado di approssimazione relativo ad una precisione richiesta. Ricordiamo a questo proposito che:
· per ogni numero n possiamo stimare un’approssimazione x1 per difetto e x2 per eccesso tale che x1<n<x2
· per ogni numero n, possiamo stabilire approssimazioni a meno di 1/10k per k=1, 2, … per le prime k cifre dopo la virgola.
Procediamo quindi verso la ricerca di cifre decimali di  √2 – decimi (a meno di 0,1), centesimi (a meno di 0,01), millesimi (a meno di 0,001), ecc. – e raccogliamo le approssimazioni nella Tabella 1.

 tabella1Tabella 1. Approssimazioni di radice di 2

Arrestando il procedimento di approssimazione a meno di 0,001, saremo certi delle prime due cifre decimali di radice di 2 cioè √2=1,41 .
Occorre ora riflettere sulla natura di √2. È un numero decimale limitato? È un numero periodico?
Niente affatto, la radice quadrata di un numero qualsiasi non quadrato perfetto è sempre uguale ad un numero decimale illimitato non periodico; nel nostro caso ecco alcune delle sue innumerevoli cifre:

√2=1,414213562373095048801688724209…

Lavoro di gruppo. Quattro-cinque alunni allestiranno alcune lavagnette di cartone con le successive approssimazioni di radice di 2 e scriveranno un breve dialogo in cui il mago illustrerà il procedimento.
Gli alunni prepareranno una successione di fogli su ognuno dei quali sarà scritta una cifra di radice di 2;  i fogli saranno esibiti leggendoli ad alta voce da una fila di alunni che li estrarrà dallo scatolone nero. Potranno anche disegnare una vignetta su una lavagnetta di cartone con un numero decimale periodico e radice di 2.

Fase 2. Un numero storico. I Babilonesi hanno espresso un’approssimazione di √2 in una tavoletta catalogata YBC 7289 che risale al periodo 1900 a.C. – 1600 a.C nel quale è inciso un quadrato (Figura 3).
Su un lato e su una diagonale vediamo simboli del sistema di numerazione babilonese: il chiodo verticale per l’unità, il punzone orizzontale per le decine e lo spazio vuoto per lo zero. Sul lato del quadrato è raffigurato il numero 30 e  sulla sua diagonale due serie di numeri 1; 24, 51, 10 e poi 42; 25, 35.

radice2Figura 3. Radice di 2 e la tavoletta babilonese1

Per poter leggere questa tavoletta, occorre ricordare che il sistema di numerazione può non essere decimale e che un numero può essere scritto in forma polinomiale. Ad esempio la terna formata da 9, da 5 e da 2 si traduce:

· nel sistema decimale 9×100 + 5×101 + 2×102 = 259
· nel sistema sessagesimale   9×600 + 5×601 + 2×602 =9×1 + 5×60 + 2×3600=7509.

Se per convenzione usiamo una virgola per separare le cifre e un punto e virgola per separare la parte intera da quella decimale, la terna 0; 8, 3 si traduce:

· nel sistema decimale 0×100 + 8×1/10 + 3×1/102=0,83
· nel sistema sessagesimale 0×600 + 8×1/60 + 3×1/602=0,13416…

Nel caso della tavoletta babilonese, lungo una diagonale del quadrato vediamo rappresentati due numeri, i cui valori si ricavano dalle rispettive rappresentazioni polinomiali:

tabella2La prima serie di numeri fornisce una buona approssimazione di radice di 2 e la seconda serie esprime la lunghezza della diagonale del quadrato avente il lato lungo 30 cm. Il risultato babilonese merita la nostra ammirazione!

Lavoro di gruppo. Un gruppetto di  alunni dovrà ideare un dialogo tra un maestro babilonese e un giovane allievo, nel quale venga illustrata la scoperta dei babilonesi.
L’allievo può spiegare il sistema sessagesimale, il maestro può descrivere la tavoletta YBC 7289 riprodotta su un cartone con le operazioni da eseguire e l’allievo può infine ripetere i calcoli leggendoli su una lavagnetta di cartone.
Il maestro avrà una tunica lunga, una sciarpa colorata, un bastone con inciso la radice di 2 e l’allievo una tunica corta.

Fase 3. Un numero irrazionale. Vogliamo mostrare l’irrazionalità di radice di 2 con un semplice esperimento, nel quale occorrono un certo numero di oggetti (ciottoli, tappi, bottoni…).
Disponiamo i ciottoli  in modo da formare 2 quadrati q uguali. Successivamente raggruppiamo i ciottoli per costruire un nuovo quadrato più grande Q (Figura 4). Se ogni quadrato q è formato da 9 ciottoli, il quadrato Q non potrà avere 18 ciottoli bensì 16, e due ciottoli avanzeranno.

ciottoli 1ciottoli 2Figura 4. La somma di due quadrati perfetti non è un quadrato perfetto

Proviamo con quadrati di diversa grandezza e annotiamo quello che accade in una tabella:

tabella3Come si può vedere, risulta impossibile costruire un quadrato Q di ciottoli uguale alla somma di due quadrati q, perché i ciottoli consentono di realizzare solo quadrati perfetti e di operare solo con numeri interi. Si può così giustificare l’impossibilità di trovare due numeri tali che 2×l2=L2 (l è il lato di uno dei due quadrati e L è il lato del quadrato somma), cioè due numeri il cui rapporto sia:Immagine3L’alunno scopre così che la radice di 2 non può essere espressa come rapporto di due numeri interi e che pertanto è un numero irrazionale.

Un cenno storico. La scoperta di radice di 2 può far capire come l’esistenza dei numeri irrazionali, inaccettabile per la scuola pitagorica, costituì un momento di crisi per la matematica.
Nell’antica Grecia, nel 550 a. C., i Pitagorici credevano che tutte le cose fossero spiegabili attraverso i numeri interi e i loro rapporti. Quando poi scoprirono che il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato non dava origine ad un numero razionale, restarono sconvolti.
La paura li spingeva a tenere nascosto tutto ciò che si esprimeva in forma irrazionale e a non svelare questa grandiosa scoperta. Il filosofo greco Proclo narrava che il primo divulgatore della scoperta fu persino vittima di un naufragio in mare per non aver saputo mantenere il segreto.
Nei secoli successivi si aprì la strada che consentì di ampliare l’insieme dei numeri. Gli uomini capirono che i numeri irrazionali non erano pericolosi, che non andavano emarginati e che avevano lo stesso diritto di cittadinanza dei numeri razionali.

Lavoro di gruppo. Gli alunni di questo gruppo avranno il compito di predisporre lavagnette con le foto di quadrati formati da ciottoli, scrivere un dialogo tra due pitagorici che discutono sul problema dei ciottoli, narrare la paura dei pitagorici, disegnare una vignetta su un cartellone con un numero razionale e un numero irrazionale.

Fase 4. Un numero al teatro. Per mettere in scena una piccola rappresentazione teatrale, sarà necessario eseguire una serie di attività: distribuire un invito alle famiglie, scrivere una presentazione della classe e del progetto, assemblare gli elaborati scritti dai gruppi, riunire i testi corretti in un unico copione, leggere ripetutamente il copione, assegnare le parti e imparare a memoria la propria, provare e riprovare le tre scenette, allestire lo scenario in palestra.
Cercheremo di assegnare ad ogni alunno un incarico, valorizzando soprattutto le sue potenzialità: memorizzare, costruire manufatti, gestire la postura, disegnare… Elogeremo la creatività, lo spirito di iniziativa, l’originalità delle idee, l’espressività…
Facendo leva sui gruppi di lavoro, la classe – impegnata per un obiettivo comune – sarà in grado di contribuire alla crescita della collettività.

Verifica, valutazione, monitoraggio. Il controllo delle attività e degli apprendimenti potrà essere operato, oltre che attraverso l’osservazione continua effettuata dal docente, anche mediante l’annotazione delle attività svolte effettuata dagli alunni. Gli alunni indicheranno sul loro quaderno anche il livello di interesse suscitato dall’attività svolta, le difficoltà incontrate e come sono state superate, le osservazioni relative all’interazione con i compagni.

Come verifica, proponiamo una prova scritta con esercizi di questa tipologia:verifica3piano cartesiano_1Per la valutazione, viene attribuita l’accettabilità all’alunno che sa riconoscere la natura di radice di 2, sa ricavare una sua approssimazione, sa esporre le strategie in modo semplice e corretto; l’eccellenza all’alunno che analizza in dettaglio, argomenta con riflessioni personali dimostrando padronanza nell’uso dei razionali e degli irrazionali.
Per una valutazione orientativa dell’alunno possiamo tener presente anche del contributo e dell’operosità manifestata prima e durante la rappresentazione teatrale.

Diana Cipressi


  1. Immagine tratta da: http://macosa.dima.unige.it/om/voci/rasesnu/babilo.htm 

Un Commento:

  1. Originale, curioso e interessante il lavoro proposto.

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