Analizzare la divisione con resto

Unità di apprendimento di Matematica per la classe prima, collegata a Matematica nella Storia: frazioni e divisioni nei secoli di Adriano Demattè

Compito unitario. Raccogliere e illustrare diverse situazioni di utilizzo della divisione con resto.

Competenza. L’alunno individua analogie e differenze, elabora argomentazioni coerenti, esprime collegamenti tra concetti diversi.

Obiettivi di apprendimento.

  • Eseguire addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, ordinamenti e confronti tra i numeri conosciuti (numeri naturali, numeri interi, frazioni e numeri decimali), quando possibile a mente oppure utilizzando gli usuali algoritmi scritti, le calcolatrici e i fogli di calcolo e valutando quale strumento può essere più opportuno.
  • Dare stime approssimate per il risultato di una operazione e controllare la plausibilità di un calcolo.

Obiettivi formativi. L’alunno:

  • determina a mente quoziente e resto nella divisione fra numeri naturali;
  • sviluppa strategie di calcolo alternative a quelle usuali per determinare resto o quoziente, anche utilizzando la calcolatrice tascabile;
  • utilizza scritture letterali o formule del foglio elettronico per indicare relazioni e proprietà dei numeri interi;
  • scrive il risultato di una divisione fra numeri naturali anche utilizzando le frazioni.

Attività laboratoriali. All’inizio del triennio, l’alunno avrà sia la necessità di un raccordo con la primaria, sia l’esigenza di trovare degli elementi di discontinuità. La divisione fra numeri interi potrà offrire lo spunto per situazioni in cui il calcolo mentale venga posto in primo piano, ma risulti accompagnato da modalità di formalizzazione nuove (numeri e lettere), dall’utilizzo di strumenti di programmazione (foglio di calcolo) che mostrino uno degli scopi della scrittura di espressioni simboliche, dall’uso della calcolatrice tascabile. Non sarà quindi l’insistenza sull’algoritmo di calcolo scritto l’aspetto centrale delle attività. Da parte dell’insegnante, si tratterà piuttosto di realizzare la programmazione in una prospettiva di percorso, vale a dire agendo per il consolidamento di concetti e per l’introduzione di aspetti da approfondire nel triennio.
Di seguito vengono illustrate alcune attività da realizzare con gli alunni.

Fase 1. Cerchiamo quoziente e resto.

1. Usare la tabella a doppia entrata della moltiplicazione  per trovare solo il resto, oppure sia il quoziente che il resto. Si osservi la tabella sottostante.

Immagine1Se la richiesta sarà “trova il resto di 45:6”, il ragazzo dovrà fare esplicito riferimento alla tabella e scegliere nella riga (o nella colonna) del 6 il valore minore di 45 più prossimo ad esso; per differenza troverà il resto. Sarà facile risalire al quoziente leggendo il valore che compare a intestazione della colonna (o della riga).
Se si pone agli alunni il compito di trovare quoziente e resto senza riferimento alla tabella, in particolare quelli deboli tenderanno a utilizzare la strategia di elencazione dei multipli del divisore. La conoscenza di numeri presenti in tabella consentirà loro, in alternativa, di rispondere velocemente alla richiesta di trovare solo il resto, senza pensare al quoziente.

2. Costruire una tabella con i numeri del tipo 6n, 6n+1, 6n+2,… che nella divisione per 6 danno resto 0, 1, 2,…  Tale tabella, sotto riportata, aiuterà l’alunno a capire il senso delle scritture simboliche.

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L’allievo la riempirà e rifletterà sul fatto che i resti nella divisione per 6 saranno minori o uguali a 5. Potrà poi realizzarla con il foglio di calcolo, unitamente ad altre riferite a vari divisori. In questo caso inserirà anche le colonne con intestazione “0” e “1”.
Sempre lavorando nell’insieme dei numeri naturali, più difficile sarà il compito di riempire la tabella che segue, in cui dovrà risalire alla scrittura polinomiale (che non sarà uguale per ogni riga) oltre a inserire gli altri valori numerici.

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3. Trovare il resto (o il resto e il quoziente) con le sottrazioni ripetute. Questa attività suggerisce una strategia di calcolo mentale utilizzabile anche per determinare se un numero è divisibile per un altro (resto uguale a 0).
Si potrà, ad esempio, formulare la richiesta di trovare il resto di 274:9, senza eseguire la divisione. Una possibile risposta sarà: “il resto è 4, perché 270 è il multiplo di 9 minore di 274 e più vicino ad esso; 274-270=4”.
Altro esempio: trovare il resto di 639:8. Si procederà nel seguente modo: “639-560=79; 79-64=15; 15-8=7”. Oppure anche: “639-400=239; 239-160=79; 79-72=7 e questo è il resto”. Si potrà ragionare inoltre sui multipli di 8 maggiori del dividendo: “640-639=1 e 8-1=7”.
Si noti come questa strategia possa essere utilizzata per trovare anche il quoziente. Con riferimento a uno degli esempi precedenti: 400=8·50; 160=8·20; 72=8·9; 50+20+9=79 e questo è il quoziente, ottenuto con un’applicazione della proprietà distributiva.
Qualcuno degli alunni potrà trovare insolita la richiesta di determinare il resto senza eseguire l’algoritmo tradizionale e mostreranno delle resistenze ad adottare questa strategia, ma va notato come essa si collochi nell’importante capitolo della divisibilità e della scomposizione in fattori.

4. Determinare quoziente e resto con la calcolatrice. Di fronte al numero 79,875 fornito dalla calcolatrice come risultato di 639:8, risaliremo al valore del resto. Moltiplicando 0,875 per 8 otterremo ancora 7. In altro modo: 639-79*8=7 (ai ragazzi verrà fatto notare come non tutte le calcolatrici assegnino la corretta priorità alle operazioni). Nel caso dei numeri illimitati periodici, si rifletterà sulle approssimazioni e sugli arrotondamenti necessari.

5. Utilizzare le frazioni. Si proporrà agli alunni un problema come il seguente, il cui testo potrà venire arricchito con riferimenti (pseudo)storici a lavoratori delle piramidi che dovevano avere la loro razione quotidiana di pane o alla situazione attuale di una gita in montagna, ecc. “Dividere 10 pani fra 4 persone”. Considerati i valori numerici scelti, si potrà chiedere agli alunni di illustrare la risoluzione con un disegno. Si rifletterà sul fatto che la soluzione potrà venire espressa in più modi:
a. con l’unica frazione 10/4 (eventualmente osservando, con riferimento al disegno, che esiste la possibilità di ridurla ai minimi termini);
b. con il numero decimale 2,5;
c. con la scrittura 2+2/4.
La ripetizione dell’esercizio con altri dati numerici (che comunque siano tali da agevolare la rappresentazione attraverso il disegno) permetterà di osservare che la scrittura frazionaria è a volte da preferire come, ad esempio, nel caso di 10 pani e 3 persone.
Si potrà chiedere poi ai ragazzi di eseguire divisioni come 3868:12 e indicare il risultato nei tre modi precedenti. La soluzione 322+4/12, confrontata con l’equivalente numero decimale, contribuirà a consolidare la consapevolezza dell’intercambiabilità fra le diverse scritture di un numero razionale.

Fase 2. Realizziamo il prodotto. Nel proporre le attività, in questo articolo, è stata utilizzata la suddivisione in cinque punti. Ciò potrà essere utile anche per il lavoro in classe. Per arrivare al prodotto finale (un poster che  illustri diversi utilizzi della divisione) sarà opportuno che i ragazzi distinguano le diverse fasi delle attività, denominandole in modo che risulti chiaro “chi di loro farà che cosa”. Dopo una prima fase di lavoro individuale, infatti, l’insegnante suddividerà la classe in gruppi assegnando a ciascuno il compito di descrivere una specifica attività. Le modalità saranno diverse e porteranno alla realizzazione di un cartellone da esporre in classe oppure di un file da ottenere con un programma di scrittura o con altri software in cui raccogliere, ad esempio, le parti realizzate dai singoli gruppi, e magari da utilizzare per una presentazione di fine anno.
Per raccogliere idee sulla realizzazione del prodotto (aspetti grafici più facilmente riproducibili da parte dei ragazzi, eventuali esempi) si potrà far riferimento al sito http://www.mathsisfun.com/numbers/division-remainder.html nel quale la presentazione dei concetti di base potrà anche costituire un supporto per gli alunni con difficoltà.
La maggior parte del tempo di lavoro sarà dedicata alle attività a classe intera; la realizzazione del prodotto potrà in parte essere destinata al lavoro domestico.

Verifica, valutazione, monitoraggio. Il monitoraggio dovrà partire fin dalla fase di lavoro a classe intera, al termine della quale gli alunni affronteranno prove finalizzate alla puntuale verifica delle conoscenze e delle abilità.
Per l’accettabilità l’alunno dovrà determinare a mente quoziente e resto con dividendo minore di 100 e divisore minore di 10, sviluppare strategie di calcolo alternative a quelle usuali per determinare resto o quoziente utilizzando la calcolatrice tascabile, utilizzare scritture letterali o formule del foglio elettronico (in cui appaiano quoziente e resto) nella realizzazione di tabelle di numeri, scrivere il risultato di una divisione anche usando le frazioni.
Per la verifica saranno utilizzati quesiti come i seguenti.
– Calcola quoziente e resto delle divisioni 58:6; 70:8; 87:9.
– Scrivi esempi di numeri naturali che nella divisione per 7 diano resto 4.
– Scrivi cinque numeri naturali del tipo 4n+2.
– Con l’uso della calcolatrice determina quoziente e resto di 763:4 ed illustra il procedimento che hai seguito.
– Utilizza le frazioni per indicare il risultato del problema: “Suddividere 13 pani fra due persone”.

Per il livello di eccellenza l’alunno dovrà sviluppare strategie di calcolo alternative a quelle usuali per determinare resto o quoziente utilizzando prioritariamente il calcolo mentale, produrre scritture letterali o formule del foglio elettronico per indicare relazioni e proprietà dei numeri interi, confrontare le diverse modalità per indicare il risultato di una divisione fra numeri naturali.
– Trova il resto di 398:9, senza eseguire il calcolo completo ma servendoti, ad esempio, delle sottrazioni ripetute.
– Quale numero naturale potrà essere il divisore se il dividendo è 48 e il quoziente è 5?
– Stabilisci i dati e illustra con un disegno un problema che si possa risolvere con una divisione avente come quoziente 5+1/4. Scrivi in altri due modi diversi il quoziente.
– Con il foglio di calcolo e utilizzando le formule, realizza la tabella seguente (si potrà utilizzare quella presentata al punto 2 delle Attività laboratoriali).

L’osservazione riguarderà soprattutto la realizzazione del prodotto. Ogni alunno sarà chiamato a contribuire al compito assegnato al proprio gruppo. Sarà richiesto di operare una sintesi di quanto svolto nel lavoro a classe intera e di esporlo con chiarezza, attraverso esempi e commenti. Costituiranno dunque elementi di valutazione la correttezza del contenuto matematico (rispetto al quale l’insegnante interverrà in qualità di supervisore) e la qualità dell’esposizione considerando che il poster dovrà rimanere a disposizione dell’intera classe per un’eventuale ripresa dei contenuti e per il collegamento con attività successive.

Adriano Demattè

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